Corsi di Laurea

[atipico]

cari colleghi
sto pprocedendo nello studio delle P.D.E.

a quanto ho capito per l'esami di Mat.III si procede nel risolvere tali problemi:
- O con il metodo "Separazione delle variabili"
- O con il metodo della "Trasformata di Laplace"

Vorrei prendere in considerazione la "Separazione delle variabili"

ho notato che per trovare una soluzione si procede scrivendo:

$ (X'')/X=(T'')/T=-lambda^2 $ $ => $ $ {(X''+lambda^2X=0,<=> X(x)=...),(T''+lambda^2T=0,<=> T(t)=...):} $

Il mio problema è questo:
Non riescoa capire in base a cosa vanno scritte le equazioni che seguono X(x) e T(t)
$ X(x)=...? $
$ T(t)=...? $

infatti una volta è presente (riferito a X(x) ma vale anche per T(t)) $ A_1sinlambdax+B_1coslambdax $altre volte $ A_1sinhlambdax+B_1coshlambdax $altre volte ancora $ C_1e^(4t) $

potete autarmi a capire in base a quale schema scegliere l'equazione da impostare?

altra domanda
se ho
$ Ce^(lambdat)=4e^(-4t) $ $ => $ $ C=4 $ $ lambda=-4 $

ma si perviene a tale risultato solo tramite una comparazione grafica (del tipo 4 sta al posto di C allora C=4 e così anche per lambda oppure si può procedere tramite breve calcolo matematico? al momento mi sfugge il possibile procedimento a riguardo)

vi sarei molto grato per un vostro utile e rapido ragguaglio a riguardo dato i tempi stringenti in vista dell'esame

[Elio]

Allora..provo a essere chiaro e semplice. Quando applichi il metodo di separazione delle variabili avrai sempre due eq. diff. una nella funzione $ X=X(x) $ e l'altra in $ T=T(t) $. Possono essere equazione del primo o del secondo ordine, questo modifica la scelta di lambda (quadro o alla prima potenza) anche se usare lambda quadro evita la trattazione sul segno di lambda stesso (esempio 309 a pag. 307 'Verso l'esame di matematica III') questo spiega perchè a volte puoi trovare $ (X')/X=-lambda^2 $.
Poi: a ogni equazione diff. sostituisci un polinomio caratteristico, ad esempio: all'equazione $ (X'')/X=-lambda^2 $ associ $ omega^2+lambda^2=0 $. La potenza di omega è l'ordine di derivazione di $ X=X(x) $. Il tipo di soluzione risultante dipende dalle soluzioni del polinomio caratteristico. Nel caso di un polinomio di secondo grado come il precedente puoi avere:
-due radici complesse coniugate $ omega=+-lambda*i $; $ X=A*Cos(lambda*x)+B*Sen(lambda*x) $
-due radici identiche con molteplicità doppia $ omega=lambda $: $ X=A*exp(lambda*x)+B*x*exp(lambda*x) $
-due radici reali distinte $ omega=lambda1,lambda2 $ : $ X=A*exp(lambda1*x)+B*exp(lambda2*x) $
Nel caso di un polinomio di primo grado del tipo $ (X')/X=-lambda^2 $ il polinomio caratteristico diventa $ omega+lambda^2=0 $
e quindi $ X=A*exp(-lambda^2*x) $. Tutto questo lo puoi trovare a pag 306/307 del libro 'Verso l'esame di matematica II'.
Poi per rispondere ad un'altra tua domanda nel caso di polinomio di grado II e radici reali distinte la soluzione $ X=A*exp(lambda1*x)+B*exp(lambda2*x) $ si può dimostrare coincidere con $ X=A*Cosh(lambda1*x)+B*Senh(lambda2*x) $, pag. 315 'Verso l'esame di matematica III', c'è una nota a piè di pagina.
L'ultima risposta è si, devi confrontarle "graficamente" se vuoi, il punto è che due esponenziali possono coincidere se e solo se il coefficiente della variabile è lo stesso e il termine pre-esponenziale pure.
Spero di averti aiutato! Scusa i probabilissimi errori XD

[atipico]

@elio
ti ringrazio per la risposta
posso dirti che sicuramente ho le idee un po' più chiare su una sorta dis chema da fare per $ -lambda^2 $
il caso $ lambda $ invece per ora lo metto da parte.

Detto questo ho bisogno di chiederti qualche ragguaglio sul procedimento da seguire per svolgere l'esercizio.
Per fare questo prendo in considerazione l'es. pag.339 n.325
_________________
$ U_(x x)+U_(yy)=0 $
$ U(0,y)=0 $
$ U(3,y)=0 $
$ U(x,0)=0 $
$ U(x,4)=1 $
_________________


$ U(x,y)=(A_1coslambdax+B_1sinlambdax)(A_2coshlambday+B_2sinhlambday) $ 1.1

utilizzando
$ U(0,y)=0 $ $ => $ $ A_1coslambda(0)+B_1sinlambda(0)=0 $ $ => $ $ A_1=0 $

tutto ciò implica che $ U(x,Y)=B_1sinlambdax(A_2coshlambday+B_2sinhlambday) $ 1.2

UTILIZZANDO
$ U(x,0)=0 $ $ => $ $ A_2coshlambda(0)+B_1sinhlambda(0)=0 $ $ => $ $ A_2=0 $

perchè devo sostituire il valore di $ A_2 $ così trovato nella 1.2 anzichè nella 1.1 ?

e ancora perchè

$ U(3,y)=0 $ $ => $ $ A_1coslambda(3)+B_1sinlambda(3)=0 $

mentre sul libro si perviene a scrivere $ sin3lambda=0 $ $ => $ $ lambda=(mpi)/3 $ ???? come ci son o arrivati?

poi si perviene ad applicare l'integrale della serie di fourier... mah non so
mi vengono altre domande del tipo:
è necessario per il compito questa parte? devo poi studiare anche quelle tramite Laplace? parliamoci papale papale
ma soprattutto questo tipo di procedimento è l'unico per le variabili separabili o ne esistono altri?

p.s.
Elio quando scrivi: $ omega=lambda $: $ X=A*exp(lambda*x)+B*x*exp(lambda*x) $
ti sei forse dimenticato la x per la A oppure è proprio così?

p.p.s .
un aiuto mai come in questo caso è più che gradito dato che sono sull'orlo di una crisi di nervi ma per davvero!

[Elio]

Allora.. la 1.2 può essere riscritta eliminando una costante, svolgendo il prodotto $ B1*A2=C1 $ e $ B1*B2=C2 $. in questo modo ne elimini una. successivamente $ C1=0 $ usando l'altra cond. al contorno. $ U(3,y)=0 $ devi porre $ Sen(3lambda)=0 $ poichè deve essere vera per ogni y. questo ti fornisce il valore di lambda che non ti spieghi. La serie di Fourier è la serie convergente alla soluzione dell'equazione differenziale. essendoci un seno il coefficiente C2 può essere letto come il coefficiente della serie dispari. però mi rendo conto che detto così fa paura. per il ps. no la x è solo al secondo exp.
In generale se queste cose non ti sono chiare al 100% ti consiglio di non appesantirti ad impare cose nuove prima dell'esame solitamente questo confonde anke quello ke già sai. la traccia è abbastanza standard questo è 1/6 del voto. puoi sempre avere la "fortuna" di trovare una pde semplice del tipo ke conosci e ttt andrà per il meglio.
Mi dispiace ma di più non posso fare.
in bocca al lupo

[atipico]

@elio
grazie

qualcuno sa per caso come si stabilisce se bisogna ricorrere alla serie di fourier per termini infitii e o se bisogna utilizzare una somma finita standard delle soluzioni ?

bisogna studiare anche il metodo risolutivo di Laplace per le pde?

le condizioni al contorno sono tutte e 4 quella al di sotto di $ U_(x x)+U_(yy)=0 $ ?

Per caso la prof. Manzo ha dato uno schema per capire i procedimenti risolutivi durante il corso?

Asserisco per giunta: Manzo + D'Apice 2 incompetenti nello scrivere libri... e n on capisco come si possa pensare che uno stuidente impari a svolgere determinate cose tramite la diretta risoluzionedi esercizi senza una ben che minima parte che ne spieghi i passaggi.

[atipico]

ragazzi ma almeno come si perviene a scrivere $ sin3lambda=0 $ $ => $ $ lambda=(mpi)/3 $ ???? come ci son o arrivati?

qualcuno lo sa ???

[micheluccio92]

se il problema è prettamente trigonometrico... allora la risposta è semplice... 3 lambda = k pi e quindi estrai lambda... il seno è periodico e l'angolo vale 3lambda ma fai finta che sia non so alfa.. quando si annulla alfa..? e stai apposto!

[vmar93]

ragazzi ma almeno come si perviene a scrivere $ sin3lambda=0 $ $ => $ $ lambda=(mpi)/3 $ ???? come ci son o arrivati?

qualcuno lo sa ???

Quando hai $ sin3lambda=0 $ devi trovare per quale valore di lamba il seno vale 0. Sai anche che il seno vale zero per ogni multiplo di $pi$(ecco il perchè compare la $m$, infatti la $m$ è definita per tutti i valori, positivi, negativi e anche il valore nullo.$m=0,+(-) 1,+(-)2,...$). Se poni $3lambda=x$ ottieni $sinx=0 => x=mpi => 3lambda=mpi => lambda=(mpi)/3$. Tutto qui.

[atipico]

si ho capito in questo caso..
ho dimenticato di aggiungere però anche cos3lambada contemporaneamente al sen3lambda e non capiasco come in questo caso si possa procedere... comunque... non pensavo che l'avrei mai detto tanto meno pubblicamente...
ma ritengo a ragione direi di dover buttare la spugna. ci rinuncio a farle.
ma possibile che uno pur averndo voglia di capirle deve buttare il sangue perchè il libro della Manzo e d'Apice fa schifo?

[atipico]

@micheluccio
non è prettamente trigonometrico iol problema
è tutta l'impostazione che non capisco, no c'è uno schema, non c'è una linea guida... le condizioni a contorno una volta le usano in un modo una volta in un altro
università da 4 soldi questa di fisciano adesso ne ho la certezza assoluta e matematica direi

[micheluccio92]

@micheluccio
non è prettamente trigonometrico iol problema
è tutta l'impostazione che non capisco, no c'è uno schema, non c'è una linea guida... le condizioni a contorno una volta le usano in un modo una volta in un altro
università da 4 soldi questa di fisciano adesso ne ho la certezza assoluta e matematica direi

allora chiedo scusa! più di questo non posso dire...

[stef4n0]

Guarda se non sbaglio Newton ha scritto un libro sulle PDE, magari da lì è meglio

[atipico]

@stefano
sicuramente si hai Ragione.

[stef4n0]

io personalmente preferisco la versione italiana D'Apice-Manzo,ma con questo non voglio sminuire Newton che comunque ne sapeva..

[Folgore]

L'esercizio sulle PDE è una ca**ata. Se uno non lo capisce vuol dire che ha proprio problemi ad impostare problemi matematici.
Tra l'altro, ci tengo a sottolineare che è il più facile del compito. Per quanto riguarda il libro di Mat 3, dubito fortemente che qualcuno di voi potrà trovarne uno simile in giro. Perciò, ringraziate Dio che c'è, e pensate che c'è tanta gente che si è dovuta fare nel mazzo per studiare tanti piccoli spezzoni da tremila libri perché in giro non c'è niente.
Tra l'altro, se pensate veramente che il libro faccia schifo, perché non lo dite agli auguri? Nun tenit e.....?

[micheluccio92]

il libro è molto elegante...

[stef4n0]

Al politecnico di Milano fanno i libri più grossi dove sono mostrati tutti i passaggi, è animato e puoi stoppare e mandare avanti lo svolgimento quando vuoi..e se non capisci chiede scusa e lo rispiega facendo passaggi alternativi..quella sì che è un'università..

[atipico]

L'esercizio sulle PDE è una ca**ata. Se uno non lo capisce vuol dire che ha proprio problemi ad impostare problemi matematici.
Tra l'altro, ci tengo a sottolineare che è il più facile del compito. Per quanto riguarda il libro di Mat 3, dubito fortemente che qualcuno di voi potrà trovarne uno simile in giro. Perciò, ringraziate Dio che c'è, e pensate che c'è tanta gente che si è dovuta fare nel mazzo per studiare tanti piccoli spezzoni da tremila libri perché in giro non c'è niente.
Tra l'altro, se pensate veramente che il libro faccia schifo, perché non lo dite agli auguri? Nun tenit e.....?

No Folgore,
infatti non la trovo proprio sensata come risposta.
Posso capire quelle di un pinco pallino qualsiasi come Stefano, ma la tua francamente no.
Però
siccome ti reputo una persona intelligente,
siccome ti reputo una persona fidata,
siccome ti reputo una persona che non parla a vanvera,
mi potresti postare uno schema sulle p.d.e. qui sul forum?
cosi, data l'estrema banalità del tema, non solo non sarà un problema per te ma tagliamo anche la testa al toro.

p.s.
Nun tenit e...
lo dici a qualcun altro, personalmente ho sempre parlato in faccia alle persone e non mancherò di far presente alla prof. Manzo, o D'Apice che sia, la loro incompetenza nello scrive la parte delle p.d.e. dove:
1. si da per scontato che una persona gia sappia fare tutto, saltando numerosi passaggi;
2. dove non c'è la ben che minima spiegazione sul procedimento da applicare;
3. è una cacata dover studiare su esercizi e solo su esercizi gia fatti perchè bisonga prima crearsi una regola generale e poi procedere... ma gia dimenticavo qui sul forum molti si limitano a riprodurre solo e soltanto quello che hanno visto tralasciano tutti gli altri casi... su questo hai ragione
ovviamente ogni riferimento è puramente casuale.

[D]

Manteniamo bassi i toni della discussione, grazie.

[Gauss92]

Scusa ma per i punti 1 e 2 penso che se uno arriva a fare matematica 3 certo che si suppone sappia quando si annulla un seno.
Per il 3 il libro della Manzo è un eserciziario non un libro di teoria ! A matematica fanno un corso solo sulle PDE, noi facciamo solo quello che ci serve.
Comunque se segui il corso puoi chiedere alla prof quello che vuoi non vedo dove sia il problema