posto una soluzione per il secondo esercizio:
essendo i segnali equiprobabili sia per il sistema A che per il B, p=1/2 in entrambi i casi
$gamma a=p cdot gamma 1 +(1-P) cdot gamma 2= 1/2 cdot (gamma 1 + gamma 2)$
$P(e) a = P(e|s1)+P(e|s2)= p cdot Q( sqrt( gamma 1)) + p cdot Q ( sqrt(gamma 2))=1/2 Q( sqrt( gamma 1)) + 1/2 Q ( sqrt(gamma 2))$
nel secondo sistema, entrambi i segnali hanno rapporto segnale rumore $gamma b$
$P(e) b = P(e|s1)+P(e|s2)= 1/2 Q( sqrt( gamma 1))+1/2 Q( sqrt( gamma 1))=Q( sqrt( gamma 1))$
dato che Q(x) diminuisce man mano che aumenta x, possiamo dire che:
per $gamma 1$ e $gamma 2$ piccoli anche $gamma b$ sarà piccolo, la probabilità di errore dei due sistemi sarà elevata. La p(e)_a sarà maggiore della P(e)_b essendo che $gamma b$ < $gamma 2$ e $gamma b$ < $gamma 1$. Quindi $Q( sqrt( gamma 1))
) e Q( sqrt( gamma 2))
)$. Tuttavia dato che i valori di $Q( sqrt( gamma 1)) e Q( sqrt( gamma 2))$ sono cmq elevati e si sommano per ottenere la P(e)_a possiamo considerare P(e)_a >P(e)_b. Quindi è preferibile il sistema b
se $gamma 1$ è grande e $gamma 2$ è piccolo, o viceversa, avremmo P(e)_a approssimabile a $1/2 Q(sqrt(gamma_max))$
e $gamma_b$ approssimabile a $1/2 gamma_max$. Quindi Pe_a