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A
$E_0 = int_{0}^{T} A^2 dt = A^2 T$
$E_1 = int_{0}^{T} 3A^2 ((2t)/T -1)^2 dt = 3A^2 int_{0}^{T} ( (4t^2)/T^2 - (4t)/T +1) dt = 3A^2 [4/T^2*T^3/3 - 4/T*T^2/2 + T] = 4A^2T - 6A^2T + 3A^2T = A^2T$
I due segnali quindi sono equienergetici. Questi segnali inoltre sono ortogonali, e lo dimostriamo usando Gram-Schmidt: definiamo la prima base
$psi_0(t) = (s_0(t)) / sqrt(E_0) = 1/sqrt(T) pi((t-T/2)/T)$
la proiezione di s1 su questa base è
$c_(10) = int_{-oo}^{oo} s_1(t)psi_0(t) dt = int_{0}^{T} (Asqrt(3))/sqrt(T) ((2t)/T - 1) dt = (Asqrt(3))/sqrt(T) int_{0}^{T} (2t)/T dt - (Asqrt(3))/sqrt(T) int_{0}^{T} dt = Asqrt(3T) - Asqrt(3T) = 0$
perciò definiamo l'altra base come
$psi_1(t) = (s_1(t)) / sqrt(E_1) = sqrt(3)/sqrt(T) ((2t)/T - 1) pi((t-T/2)/T)$
B
Per p = 0.5 abbiamo la classica segnalazione ortogonale equienergetica equiprobabile. Perciò la probabilità d'errore è banalmente
$P_M = Q(sqrt((A^2T)/N_0))$
C
Qui la cosa si fa più complicata. In generale, data una segnalazione binaria, la probabilità d'errore quando è trasmesso un simbolo $s_i$ dipende solo dalla distanza tra questo simbolo e la soglia.
$P(e|s_i) = Q(sqrt((2d^2(s_i,S))/N_0))$
Prima che qualcuno me lo chieda, questa formula non l'ho trovata da nessuna parte ma credo sia corretta, ed è una versione più generale della formula 7.6.10 a pagina 406 del Proakis-Salehi.
Quindi per trovare la probabilità d'errore dobbiamo prima trovare questa soglia, che dipende dalle energie dei due segnali ma anche da p.
Adottiamo il criterio MAP, e scriviamo:
$(f(vecs_1|vecr))/(f(vecs_0|vecr)) {:(S_1),(>),(<),(S_0):} 1$
$(f(vecr|vecs_1)p) / (f(vecr|vecs_0)(1-p)) {:(S_1),(>),(<),(S_0):} 1$
$ ( e^(-(||vecr-vecs_1||^2)/N_0) )/( e^(-(||vecr-vecs_0||^2)/N_0) ) * p/(1-p) {:(S_1),(>),(<),(S_0):} 1$
Adesso calcoliamo i numeratori degli esponenti degli esponenziali (cosa ho detto?
)$||vecr - vecs_1||^2 = (r_0 - s_(10))^2 + (r_1 - s_(11))^2 = r_0^2 + r_1^2 -2r_1 s_(11) +s_(11)^2$
$||vecr - vecs_0||^2 = (r_0 - s_(00))^2 + (r_1 - s_(01))^2 = r_0^2 + r_1^2 -2r_0 s_(00) +s_(00)^2$
La disequazione della soglia diventa
$e^(-(||vecr-vecs_1||^2)/N_0) * p/(1-p) {:(S_1),(>),(<),(S_0):} e^(-(||vecr-vecs_0||^2)/N_0) $
E quindi
$-(||vecr-vecs_1||^2)/N_0 + ln(p/(1-p)) {:(S_1),(>),(<),(S_0):} -(||vecr-vecs_0||^2)/N_0$
Sostituendo otteniamo:
$-r_0^2 - r_1^2 +2r_1 s_(11) -s_(11)^2 +N_0 ln(p/(1-p)) {:(S_1),(>),(<),(S_0):} -r_0^2 - r_1^2 +2r_0 s_(00) -s_(00)^2$
Sappiamo che $s_(11)^2 = s_(00)^2 = A^2T$ per cui possiamo eliminare dalla disequazione anche questi termini insieme agli altri. Ci rimane
$r_1 {:(S_1),(>),(<),(S_0):} r_0 - (N_0)/(2Asqrt(T)) ln(p/(1-p))$
Che è una retta con coefficiente angolare $m = 1$ e offset $q = - (N_0)/(2Asqrt(T)) ln(p/(1-p))$
La distanza tra s1 e la soglia vale:
$d(vecs_1,S) = (|s_(11) - s_(10)*m -q|)/sqrt(1+m^2) = 1/sqrt(2) |Asqrt(T) + ((N_0)/(2Asqrt(T))) ln(p/(1-p))|$
E allo stesso modo
$d(vecs_0,S) = (|s_(01) - s_(00)*m -q|)/sqrt(1+m^2) = 1/sqrt(2) |-Asqrt(T) + ((N_0)/(2Asqrt(T))) ln(p/(1-p))|$
Applicando finalmente la formula otteniamo:
$P(e|s_1) = Q(sqrt( ([ (N_0)/(2Asqrt(T)) ln(p/(1-p)) + Asqrt(T)]^2) / N_0))$
$P(e|s_1) = Q(sqrt( ([ (N_0)/(2Asqrt(T)) ln(p/(1-p)) - Asqrt(T)]^2) / N_0))$
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faccio solo errori fessi
quindi diciamo che ci troviamo!!!! l'ultima cosa: quindi quella formula in caso di segnali nn equiprobabili è buona??? ricapitolando al numeratore c'è la distanza del punto dalla soglia e al denominatore c'è solo N0 e non 2N0 giusto????
