QUESITO 3
I nostri professori non mancano di certo di immaginazione, ma basta un pò di ragionamento per capire che in realtà ciò che viene chiesto è molto facile da ricavare. Personalmente io ho adottato un approccio grafico, ma si può anche procedere matematicamente, il risultato è sempre lo stesso (e il matlab mi dà ragione
).
Sappiamo in generale che lo spettro di un segnale modulato U-SSB è del tipo
$U(f) = Ac*M(f-f_c)*u_-1(f-f_c) + Ac*M(f+f_c)*u_-1(-f-f_c)$
Dove $u_-1$ è la funzione gradino unitario, e viene usata per tagliare la banda inferiore del segnale modulato. Ciò è chiaramente visibile nell'immagine n.1 allegata: in verde c'è lo spettro del messaggio, in blu lo spettro del messaggio traslato a causa della moltiplicazione per la portante, e in rosso le due funzioni gradino.
Giusto per chiarezza: per fare questi grafici in matlab ho usato alcuni valori di prova che in realtà non vengono dati dalla traccia; in particolare ho posto B = 100 Hz, f1 = 2 KHz e f2 = 10 KHz.
Nella nostra traccia questa operazione viene fatta due volte. Nella seconda immagine si vede in blu il modulo di $U_1(f)$ e in rosso, come nella prima immagine, le due funzioni gradino.
Matematicamente la trasformata di $u_1(t)$ vale:
$U_1(f) = Ac*M(f-f_1)*u_-1(f-f_1) + Ac*M(f+f_1)*u_-1(-f-f_1)$
Adesso lo stesso principio si applica al secondo stadio U-SSB. Il segnale $u_1(t)$ viene moltiplicato per una portante a frequenza f2 e poi ne viene cancellata la banda inferiore; nell'immagine n.3 si vedono in blu le due copie dello spettro originale $U_1(f)$, traslate una a +f2 e l'altra a -f2; in rosso si vedono i soliti gradini. Le due copie a frequenza minore saranno eliminate, e quello che rimarrà saranno solo le altre due.
Il risultato è il segnale nell'immagine n.4. Praticamente, ciò che esce dalla cascata di queste due modulazioni U-SSB è un segnale modulato U-SSB con una portante a frequenza f1+f2 (12 KHz nell'esempio) e amplificato, invece che di un fattore $Ac$, di un fattore $Ac^2$ (perchè moltiplichiamo per due volte per una portante di ampiezza Ac).
Esprimendo matematicamente il risultato:
$U_2(f) = Ac^2*M(f-f_1-f_2)*u_-1(f-f_1-f_2) + Ac^2*M(f+f_1+f_2)*u_-1(-f-f_1-f_2)$
Sapendo che l'antitrasformata di $u_-1(f)$ è $1/2 delta(t) + j/(2pit)$ e che l'antitrasformata di $u_-1(-f)$ è $1/2 delta(t) - j/(2pit)$ scriviamo
$u_2(t) = Ac^2*[m(t)**(1/2 delta(t) + j/(2pit))]e^(j2pi(f1+f2)) + Ac^2*[m(t)**(1/2 delta(t) - j/(2pit))]e^(-j2pi(f1+f2)) =$
$= Ac^2/2[m(t)+jhatm(t)]e^(j2pi(f1+f2)) + Ac^2/2[m(t)-jhatm(t)]e^(-j2pi(f1+f2)) = $
$= Ac^2m(t)cos(2pi(f1+f2)t) - Ac^2hatm(t)sin(2pi(f1+f2))$
Ecco fatto!
Ho allegato a questo post un file zip contentente lo script in matlab che ho usato per fare i grafici e gli esperimenti, insieme alle 4 immagini usate nello svolgimento (numerate).
QUESITO 4
Dei risultati degli ultimi punti di questo esercizio non sono molto sicuro, comunque sia li metto.
A
Come base scelgo la più semplice che si possa immaginare per una segnalazione del genere, ossia:
$psi(t) = 1/T Pi((t-T/2)/T)$
Disegnare la costellazione è una cosa banale, per cui tralasciamo.
B
$E_(av) = E_1 /2$
C
Dato che la segnalazione è equiprobabile e ci sono solo due segnali, la probabilità d'errore di simbolo coincide con quella di bit, inoltre la probabilità d'errore nel caso sia trasmesso s1 e quella in cui sia trasmesso s2 sono uguali, pari alla probabilità d'errore totale. La soglia, banalmente, è il valore che si trova a metà strada tra i due segnali, ossia $sqrt(E_1)/2$
$P_b = 1/(sqrt(piN_0)) int_{-oo}^{sqrt(E_1)/2} e^(-(r-sqrt(E_1))^2/N_0) dr = 1/sqrt(2pi) int_{-oo}^{-sqrt(gamma)} e^(-x^2/2) dx = $
$= 1/sqrt(2pi) int_{sqrt(gamma)}^{oo} e^(-x^2/2) dx = Q(sqrt(gamma))$
D
Nel caso in cui sia "trasmesso" s2 (il segnale ad energia nulla), il fatto che si verifichi oppure no il malfunzionamento non ha alcuna influenza sulla probabilità d'errore (infatti r rimane sempre una VA gaussiana con media 0 e deviazione standard $N_0$).
Pertanto si può scrivere tranquillamente $P(e|s_2) = Q(sqrt(gamma))$
Non si può dire lo stesso nel caso in cui sia trasmesso s1. La probabilità d'errore in questo caso la scomponiamo in due fattori, dove il primo è la probabilità d'errore nel caso di malfunzionamento e il secondo nel caso opposto. Nel caso di malfunzionamento r diventa una VA con valore medio invertito, quindi $-sqrt(E_1)$.
$P(e|s1)_(malf) =p * 1/(sqrt(piN_0)) int_{-oo}^{sqrt(E_1)/2} e^(-(r+sqrt(E_1))^2/N_0) dr = p/sqrt(2pi) int_{-oo}^{3sqrt(gamma)} e^(-x^2/2) dx = $
$= p/sqrt(2pi) int_{-3sqrt(gamma)}^{oo} e^(-x^2/2) dx = p*Q(-3sqrt(gamma)) = p*(1- Q(3sqrt(gamma)) ) = p - pQ(3sqrt(gamma))$
$P(e|s1)_(funz) = (1-p) * Q(sqrt(gamma)) = Q(sqrt(gamma)) - p Q(sqrt(gamma))$
In totale
$P_b(p) = 1/2 (P(e|s2) + P(e|s1)_(malf) + P(e|s1)_(funz)) = 1/2 [ 2Q(sqrt(gamma)) - pQ(sqrt(gamma)) + p - pQ(3sqrt(gamma)) ]
E
$P_b(1) = 1/2 [Q(sqrt(gamma)) + 1 - Q(3sqrt(gamma))]$