Corsi di Laurea

[DeAndreon]

Ciao a tutti! Ho capito bene come si calcolano gli autovalori attraverso il polinomio caratteristico ma non ho capito invece come si calcolano gli autovettori e gli autospazi. E non ho capito il concetto di endomorfismo :S

Chi mi aiuta?

[antonio88]

ciao
credo che gli autospazi siano formati dagli autovettori che trovi riducendo prima a scalini la matrice del polinomio caratteristico (sostituendovi l'autovalore interessato) e poi risolvendo il sistema così trovato (costituito dunque da righe linearmente indipendenti) per arrivare alle basi era questo che volevi sapere?

se ho sbagliato qualcosa corregetemi per favore

[DeAndreon]

ciao
credo che gli autospazi siano formati dagli autovettori che trovi riducendo prima a scalini la matrice del polinomio caratteristico (sostituendovi l'autovalore interessato) e poi risolvendo il sistema così trovato (costituito dunque da righe linearmente indipendenti) per arrivare alle basi era questo che volevi sapere?

se ho sbagliato qualcosa corregetemi per favore

Grazie della risposta Vorrei sapere i passi che devo fare per trovare gli autovettori e gli autospazi e un chiarimento sull'endomorfismo. Se sei in grado di farmi un esempio te ne sarei grato

[r00t]

Andrea l'endomorfismo non è nient'altro che l'applicazione lineare dello spazio in se stesso. Ad esempio: $ R^3 -> R^3 $. "Una applicazione lineare è una funzione che preserva la forma delle operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione per scalare." (Wikipedia )

Per trovare gli autovettori relativi agli autovalori devi semplicimente sostituire nella matrice A - λI il λ con l'autovalore (ad esempio se l'autovalore è 2 e sulla prima riga della matrice hai: 1-λ 1 0 questa diventa 1-2 1 0 quindi, -1 1 0) una volta sostituito al λ l'autovalore, riduci la matrice a scalini e poni le varie righe che ti trovi in un sistema omogeneo. Risolvi il sistema omogeneo e crei una base per le x,y etc che ti sei trovato. I vettori della base dell'autospazio vettoriale saranno automaticamente gli autovettori dell'autospazio relativi a quell'autovalore. Ovviamente ripeti questo procedimento tante volte quanti sono gli autovalori. Inoltre ricorda che se stai verifacando la diagonalizzazione della matrice che rappresenta endomorfismo la molteplicità algebrica di ciascun autovalore deve coincidere con la dimensione dell'autospazio da esso generato. (Ad esempio se l'autovalore λ è radice del polinomio caratteristico per una volta sola, la dim dell'autospazio generato da esso deve essere pari ad 1 affinchè la matrice che rappresenta l'endomorfismo sia diagonalizzabile). A presto

[antonio88]

TROVATO gli autovalori per esempio L=2 e L=5 ora

fai |A-2I| ora questa matrice la riduci a scalini per trovare le righe linearmente indipendenti poi semplicemente ci scrivi un sistema ( fin qui ci sei?) poi semplicemente lo risolvi

es. 1 3 8
0 1 3
0 0 0

sistema: x+3y+8z=0, y+3z=0 lo risolvi e ottieni V $(z, -3z, z) |z E R $
per z=1
(1,-3,1) hai così trovato l'autospazio relativo all'autovalore 2 devi poi farlo anche per tutti gli altri autovalori dunque in questo caso per L=5

spero di essere stato un poco piu chiaro

[DeAndreon]

Grazie ad entrambi per le risposte! Risolti un bel pò di dubbi

Per quanto riguarda il sistema postato. Ho trovato la x e la y.

x = z

y = -3z

Ora che devo fare? Devo fare la base?

Grazie ancora

p.s. la riduzione a scalini la si fa con l'algoritmo di gauss vero?

[Folgore]

DeAndreon, si! La riduzione a scalini la fai con l'algoritmo di Gauss. Per quello che hai scritto in precedenza, dovresti trovare una base. In realtà, basta dare un solo valore a z, per esempio 1. Se dai 1, una base è costituita dal vettore (1,-3,1), e la dimensione del sottospazio è 1.
Ciao.

[DeAndreon]

Grazie tantissime per le risposte! Ora mi è quasi tutto chiaro Però ho visto lo svolgimento di due esercizi che sono stati dati alla prova del 7 e che mi mandano in confuzione...

1)

Dati V e W sottospazi di R4 cos`ı definiti:

V =

	

(x, y, z, t) ∈ R4 : y + z + t = x + y − z = 0





,

W =< (−1,−1, 0,−1), (−1, 1, 0, 1), (3, 1, 0, 1) >,

(a) determinare la dimensione e una base di V e W. Il sistema lineare omogeneo

che rappresenta V `e dato da:



y + z + t = 0,

x + y − z = 0,

⇔



x = t + 2z,

y = −t − z,

e una base per V `e BV = {(1,−1, 0, 1) , (2,−1, 1, 0)} . Di conseguenza, dimV = 2.

Essendo i vettori che generano W linearmente dipendenti, una base per W `e data da

BW = {(−1,−1, 0,−1) , (−1, 1, 0, 1)}. Quindi, dimW = 2.

(b) determinare la dimensione e una base di V ⊥ e W⊥. Un sistema lineare

omogeneo che rappresenta W⊥ `e:



(x, y, z, t) · (−1,−1, 0,−1) = 0,

(x, y, z, t) · (−1, 1, 0, 1) = 0,

⇔



−x − y − t = 0,

−x + y + t = 0,

⇔

⎧⎨

⎩

x = 0,

y = −t,

t = t,

ed una base di W⊥ `e BW⊥ = {(0, 0, 1, 0) , (0,−1, 0, 1)} . Quindi, dimW⊥ = 2. Un

sistema lineare omogeneo che rappresenta V ⊥ `e:



(x, y, z, t) · (1,−1, 0, 1) = 0,

(x, y, z, t) · (2,−1, 1, 0) = 0,

⇔



x − y + t = 0,

2x − y + z = 0,

⇔

⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

x = t − z,

y = 2t − z,

t = t,

z = z,

ed una base di V ⊥ `e BV ⊥ = {(−1,−1, 1, 0) , (1, 2, 0, 1)} . Pertanto, dimV ⊥ = 2.

Come fanno ad uscire queste basi?

E in questo secondo caso?

2)

Dire se ϕ `e diagonalizzabile, motivando la risposta. Gli autovalori di ϕ sono

λ1 = −3, con molteplicit`a algebrica 2 e λ2 = 2, con molteplicit`a algebrica 1. Un

sistema lineare omogeneo per l’autospazio V−3 `e:

Av = −3v ⇔

⎧⎨

⎩

x − 2y − 2z = 0,

−x + 2y + 2z = 0,

−x + 2y + 2z = 0,

⇔

⎧⎨

⎩

x = 2y +2z,

y = y,

z = z.

Una base per V−3 `e quindi BV−3 = {(2, 0, 1) , (2, 1, 0)}. Un sistema lineare omogeneo

per l’autospazio V2 `e:

Av = 2v ⇔

⎧⎨

⎩

−4x − 2y − 2z = 0,

−x − 3y + 2z = 0,

−x + 2y − 3z = 0,

⇔

⎧⎨

⎩

x = −z,

y = z,

z = z.

Una base per V2 `e quindi BV2 = {(−1, 1, 1)}. L’endomorfismo `e diagonalizzabile

perch`e le molteplicit`a algebriche e geometriche di ogni autovalore coincidono.

(c) Nel caso in cui ϕ `e diagonalizzabile trovare una base di autovettori. Unendo

i vettori delle basi BV−3 e BV2 , una base per R3 `e B = {(2, 0, 1) , (2, 1, 0) , (−1, 1, 1)} .

In questo caso se sostituisco in z = 1, non dovrebbe venire una base come (2,1,1)? Da dove escono quei 0?

Grazie a tutti!

[Folgore]

Quello svolgimento messo su IWT è molto sintetico. Tieni presente che, ovviamente, per uno spazio o un sottospazio, ci possono essere infinite basi. Perchè non vai a ricevimento? I prof ti fanno capire da dove esce tutto....Qui mi pare un po' complicato mettersi a fare i conti.
Ciao.

[DeAndreon]

Hehe, il problema è che il 4 sta l'esame e ho ancora questo ingrippo XD Vedo un esercizio svolto e vedo un metodo. Vedo un altro e c'è un altro metodo...
Insomma... Per ogni esercizio c'è un cavolo suo.
Quello che però non riesco a capire è: quando la dimensione della base ad es è 2 e nel sistema ci sono 4 incognite ma risolto il sistema escono solo 2 soluzioni, dove si prendono gli altri 2 valori per l'autovettore?
Questo non riesco a capire.
Es:

x = 0
y = -t
t = t

Questo è il sistema semplificato alla fine di questo sistema:

(x,y,z,t) * (-1,-1,0,-1) = 0
(x,y,z,t) * (-1,1,0,1) = 0

ed esce questa base: {(0,0,1,0),(0,-1,0,1)}. Se io vado a sostituire 1 in t, mi verrebbe ( 0, -1, 0, 1). L'altro autovettore come è uscito? Se io inverto gli autovettori cioè metto prima il secondo e poi il primo nella base cambia qualcosa?

In questo secondo sistema:

x = t + 2z
y = -t -z

esce questa base: {(1,-1,0,1), (2,-1,1,0)}, come diavolo esce questa base?????????????

[r00t]

Andrea quando svolgi un sistema lineare omogeneo e , ad esempio, ti trovi due incognite libere (infinito^incognite-rango), per trovarti una base del sottospazio rappresentato dal sistema omogeneo devi assegnare alle due incognite libere i valori della base canonica di R^2. Ad esempio:

Se "z" e "t" sono incognite libere per trovarti una base:

z = 1 & t = 0,
z= 0 & t = 1,

in quanto la base canonica di R^2 è {(1,0),(0,1)}.

Se per esempio avessi 3 incognite libere(y,z,t):

y = 1 & z = 0 & t = 0,
y = 0 & z = 1 & t = 0,
y = 0 & z = 0 & t = 1

in quanto la base canonica di R^3 è {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}

[DeAndreon]

Concordo, ci sono arrivato ieri pomeriggio a questo ragionamento XD
Grazie ancora Angelo
Mi mi manca solo l'ortonormalizzazione che non ho capito a che diavolo serve ma so che si fa con gram-schmit e la formula di grassmann.
Grazie ancora

[kiara ^_^]

scusate mi sapreste spiegare come si determina la dimensione e una base di v intersecato W dati v e w sottospazi di r4?