Grazie tantissime per le risposte! Ora mi è quasi tutto chiaro
Però ho visto lo svolgimento di due esercizi che sono stati dati alla prova del 7 e che mi mandano in confuzione...
1)
Dati V e W sottospazi di R4 cos`ı definiti:
V =
(x, y, z, t) ∈ R4 : y + z + t = x + y − z = 0
,
W =< (−1,−1, 0,−1), (−1, 1, 0, 1), (3, 1, 0, 1) >,
(a) determinare la dimensione e una base di V e W. Il sistema lineare omogeneo
che rappresenta V `e dato da:
y + z + t = 0,
x + y − z = 0,
⇔
x = t + 2z,
y = −t − z,
e una base per V `e BV = {(1,−1, 0, 1) , (2,−1, 1, 0)} . Di conseguenza, dimV = 2.
Essendo i vettori che generano W linearmente dipendenti, una base per W `e data da
BW = {(−1,−1, 0,−1) , (−1, 1, 0, 1)}. Quindi, dimW = 2.
(b) determinare la dimensione e una base di V ⊥ e W⊥. Un sistema lineare
omogeneo che rappresenta W⊥ `e:
(x, y, z, t) · (−1,−1, 0,−1) = 0,
(x, y, z, t) · (−1, 1, 0, 1) = 0,
⇔
−x − y − t = 0,
−x + y + t = 0,
⇔
⎧⎨
⎩
x = 0,
y = −t,
t = t,
ed una base di W⊥ `e BW⊥ = {(0, 0, 1, 0) , (0,−1, 0, 1)} . Quindi, dimW⊥ = 2. Un
sistema lineare omogeneo che rappresenta V ⊥ `e:
(x, y, z, t) · (1,−1, 0, 1) = 0,
(x, y, z, t) · (2,−1, 1, 0) = 0,
⇔
x − y + t = 0,
2x − y + z = 0,
⇔
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
x = t − z,
y = 2t − z,
t = t,
z = z,
ed una base di V ⊥ `e BV ⊥ = {(−1,−1, 1, 0) , (1, 2, 0, 1)} . Pertanto, dimV ⊥ = 2.
Come fanno ad uscire queste basi?
E in questo secondo caso?
2)
Dire se ϕ `e diagonalizzabile, motivando la risposta. Gli autovalori di ϕ sono
λ1 = −3, con molteplicit`a algebrica 2 e λ2 = 2, con molteplicit`a algebrica 1. Un
sistema lineare omogeneo per l’autospazio V−3 `e:
Av = −3v ⇔
⎧⎨
⎩
x − 2y − 2z = 0,
−x + 2y + 2z = 0,
−x + 2y + 2z = 0,
⇔
⎧⎨
⎩
x = 2y +2z,
y = y,
z = z.
Una base per V−3 `e quindi BV−3 = {(2, 0, 1) , (2, 1, 0)}. Un sistema lineare omogeneo
per l’autospazio V2 `e:
Av = 2v ⇔
⎧⎨
⎩
−4x − 2y − 2z = 0,
−x − 3y + 2z = 0,
−x + 2y − 3z = 0,
⇔
⎧⎨
⎩
x = −z,
y = z,
z = z.
Una base per V2 `e quindi BV2 = {(−1, 1, 1)}. L’endomorfismo `e diagonalizzabile
perch`e le molteplicit`a algebriche e geometriche di ogni autovalore coincidono.
(c) Nel caso in cui ϕ `e diagonalizzabile trovare una base di autovettori. Unendo
i vettori delle basi BV−3 e BV2 , una base per R3 `e B = {(2, 0, 1) , (2, 1, 0) , (−1, 1, 1)} .
In questo caso se sostituisco in z = 1, non dovrebbe venire una base come (2,1,1)? Da dove escono quei 0?
Grazie a tutti!