non mi trovo con quello che hai scritto perchè effettivamente è impossibile che $\zeta = \sqrt\epsilon$
forse volevi dimostrare che $n = \sqrt\epsilon_r$
(Per $n$ intendo il coefficiente o indice di rifrazione $n = \sqrtmu_r/\sqrt\epsilon_r$)
se $\mu = \mu_r\mu_0$ con $\mu = \mu_0$ ho $\mu_r = 1$ allora $n = \sqrtmu_r/\sqrt\epsilon_r = \sqrt\epsilon_r$
oppure che $\zeta = \zeta_0/n$
$\zeta = \sqrt\mu/\sqrt\epsilon$
ora se $\mu = \mu_0$
$\zeta = \sqrt\mu_0/\sqrt\epsilon$
se moltiplico e divido per la stessa quantità ho
$\zeta = \sqrt\mu_0/\sqrt\epsilon(\sqrt\epsilon_0/\sqrt\epsilon_0) = \sqrt\mu_0/\sqrt\epsilon_0(1/\sqrt\epsilon_r) = \zeta_0/n$
queste sono tutte le relazioni che valgono per un mezzo senza perdite magnetiche e con la $\mu = \mu_0$
Edit:
Se poi vai a sostituire le precedenti espressioni di zita ($\zeta_(1,2) = \zeta_0/n_(1,2)$)
ti accorgi che il fattore $\zeta_0$ è comune a tutti i termini e quindi lo semplifichi
e ti trovi $n_(1,2)$ invece di $\zeta_(1,2)$ nella formula del coefficiente ,o indice, di riflessione ($\Gamma_(parall elo)$)
dunque posto quest'ultimo uguale a zero e dopo vari passaggi matematici pervieni a un espressione
dell'angolo di Brewster:
$\Theta_b = arcsin(\sqrt(n_2)^2/\sqrt(n_1^2 + n_2^2))$
se ricordi $n_(1,2) = \sqrt\epsilon_(r1,r2) = \sqrt\epsilon_(1,2)/\sqrt\epsilon_0$
ora se vai a sostituire i vari $n$ in termini di $\epsilon$ (solo nel caso $\mu_(1,2) = \mu_0$) ti viene
$\Theta_b = arcsin(\sqrt\epsilon_2/\sqrt(\epsilon_1 + \epsilon_2))$