Corsi di Laurea

[Blackjack]

ecco qua la traccia completa della prova scritta di epsi di oggi 06/07/2007... spero che possa tornare utile!

30/12/2007: adesso tutte le risposte corrette sono segnate in rosso (tranne quel quesito con l'errore di stampa)

28/02/2008: corretto il quesito 17

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qualcuno mi corregga se scrivo ca***te, in particolare per il quesito 16! inoltre, se qualcuno ha saputo fare il quesito 4 potrebbe gentilmente spiegare come l'ha fatto? grazie

allora, ecco il mio svolgimento:

QUESITO 1
facendo un conteggio, si ha che in totale sono 50 le persone intervistate, cioè un numero pari. questo vuol dire che, messe tutte le persone in ordine crescente (o decrescente, è uguale) per voto, la mediana è la media aritmetica tra il voto della 25ma persona e della 26ma persona, che sono rispettivamente 7 e 8, per cui la mediana è 7,5.

QUESITO 2
la probabilità di colpire il bersaglio sparando due volte è l'unione tra gli eventi "la prima volta ha colpito il bersaglio e la seconda no", "la prima volta l'ha mancato e la seconda l'ha colpito", e "l'ha colpito entrambe le volte", oppure è il complementare dell'evento "non è stato colpito il bersaglio".
nel primo caso, quindi, (sia X il numero di colpi andati a segno):

P(X > 1) = $ (0,2*0,8) + (0,8*0,2) + (0,2*0,2) = (0,2)^2 + 2(0,2*0,8) = 0,36 $

in maniera analoga:

P(X > 1) = $ 1 - P(X=0) = 1 - (0,8*0,8) = 1 - 0,64 = 0,36 $

QUESITO 3
poichè la media è λ, il parametro della v.a. esponenziale è 1/λ, e quindi la sua pdf è

$ f(x) = (1/λ) e^-(x/λ)$

la P(X>y) quindi sarà:

1 - P(X<y) = $ 1 - int_{-oo}^{y}(1/λ)*e^-(x/λ) dx $

QUESITO 4
questo non sono riuscito a farlo!

QUESITO 5
sappiamo che per una v.a. di Poisson, la P(X=0) = $1/5 = e^-λ $ perciò:
$ 5 = e^λ ; log5 = λ $
poichè λ è proprio la media della v.a. di Poisson, allora è proprio uguale a log5

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QUESITO 6
bisogna fare un semplice calcolo delle combinazioni:
$6C2 = (6!)/(2!*(6-2)!) = 15 $

QUESITO 7
la probabilità che le 2 palline estratte NON abbiano lo stesso colore è il complementare della probabilità che abbiano lo stesso colore; sfruttando questa caratteristica:
$ 1 - (2/8*1/7) - (6/8*5/7) $
dove la seconda quantità è la probabilità che siano entrambe gialle, mentre la terza è la probabilità che siano entrambe verdi. il risultato è
$ 1 - (2+30)/56 = 1 - 0,571 = 0,429$

QUESITO 8
la media, per la proprietà del valore atteso è:
$ E[Y] = aμ + b $ dove μ è il valore atteso di X

mentre la varianza vale:
$ Var(Y) = a^2 *σ^2 $ dove $ σ^2 $ è la varianza di X

QUESITO 9
se vogliamo che l'ampiezza dell'intervallo di confidenza sia 6, praticamente vogliamo che:

$zp = z_α*(σ/sqrt{n}) = 3 $

poichè l'intervallo di confidenza è al 95%, si prenderà il valore $ z_α = 1,960 $ corrispondente a P(x
$ 3 = 1,96*(25/sqrt{n}) ; sqrt{n} = (1,96*25)/3 ; n = ((1,96*25)/3)^2 = 266,78 $

QUESITO 10
poichè il numero di difettosi provenienti da A è il 25% sul totale, il restante 75% proviene da B, cioè B fornisce una quantità di difettosi 3 volte quelli di A. Poichè A e B forniscono lo stesso numero di prodotti, e la % di difettosi di A è del 5%, allora la percentuale di difettosi di B è 5*3 = 15%

[Blackjack]

QUESITO 11
poichè A e B sono due eventi disgiunti, AintersecatoB è uguale ad A*B; essi sono sempre indipendenti.

QUESITO 12
i due eventi:
non sono indipendenti: il primo infatti è incluso nel secondo
non sono equiprobabili: il secondo è più probabile del primo
non sono impossibili!
perciò, sono sicuramente dipendenti! se si verifica il primo, allora sicuramente è anche verificato il secondo; se si verifica il secondo, è più probabile che si verifichi anche il primo.

QUESITO 13
la probabilità che passi corrente è

$ p + p + (p*p) = 2p + p^2 $

dove la prima quantità è la prob che il primo interruttore sia chiuso, la seconda è la prob che il secondo interruttore sia chiuso, e la terza quantità è la prob che il terzo e il quarto interruttore siano contemporaneamente chiusi

QUESITO 14
abbiamo che f(x) = $ax(1-x)^2$

perchè f(x) sia la pdf di una v.a., il suo integrale da -oo a +oo deve essere 1:

$int_{-oo}^{+oo} f(x)dx = 1 $

sviluppando l'integrale:

$int_{-oo}^{+oo} f(x)dx = int_{0}^{1} ax(1-x)^2 dx = a*int_{0}^{1} x^3 - 2x^2 +x dx = ... = a/12 = 1 $

da cui a = 12

QUESITO 15
le permutazioni sono 5P5 = 5!
però quello che ci interessa è sapere le combinazioni, tenendo conto del fatto che ci

sono 2 biglie nere e 3 rosse; perciò:

numero di combinazioni = $ (5!)/(3!*2!)$ (a questo risultato ci sono arrivato per intuizione, ma è corretto)

[Blackjack]

QUESITO 16
il risultato finale, supponendo distribuzione binomiale, è:

P(X>3) = $ 1 - ((200),(0)) * p^0*(1-p)^200 - ((200),(1)) * p*(1-p)^199 - ((200),(2)) * p^2*(1-p)^198 = 1 - 0,8186 - 0,1639 - 0,0163 = 0,0012 $

il mio risultato nn si trova con nessuna risposta, tuttavia ho sentito dire che in questo quesito nessuna risposta era corretta (qualcuno mi corregga se mi sbaglio!)

QUESITO 17
$P(X_1*X_2) > 0 = P(X_1 > 0, X_2 >0) + P(X_1 < 0, X_2 <0) = 1/2*1/3 + 1/2*1/3 = 2/6 = 1/3$

QUESITO 18
sappiamo che Z = -X con prob. p1, 0 con prob. p2, X con prob. p3

mentre Z^2 = X^2 con prob. p1+p3, 0 con prob. p2

$ E[Z^2] = E[X^2]p1 + E[X^2]p3 + 0p2 = (σ^2+μ^2)p1 + (σ^2+μ^2)p3 = (σ^2+μ^2)*(p1+p3) $

non sono molto sicuro di questo risultato, qualcuno può confermarlo?

QUESITO 19
la risposta è la B, infatti l'ampiezza di Ic è in media minore di Is: ci possono essere dei casi, sebbene rari, in cui Ic > Is

QUESITO 20
preso un qualsiasi evento A e B in uno spazio S, è sempre valida la condizione A

[MauScar]

Ciao Blackjack, complimenti per le risposte esaurienti anche se su alcune ho delle perplessità che qui esplicherò.

Nel quesito 19 io avrei risposto A: un campione con varianza non nota presenta sempre una incertezza maggiore rispetto ad uno con varianza nota, quindi l'intervallo di confidenza di Is sarà sempre maggiore di Ic...

Per il quesito 9 sono pienamente daccordo sul ragionamento, non sul risultato: dovendo fornire un numero intero di lampadine, io darei come risposta giusta la B.

Il quesito 13 secondo me è errato: abbiamo un circuito con tre elementi in parallelo. Per farlo funzionare basta che almeno 1 dei 3 sia funzionante. Dato che il terzo lato (in basso) è composto da una serie, la sua probabilità di funzionamento è p*p=p^2. Le probabilità che ogni singolo lato funzioni è: p, p e p^2.
Affinchè il circuito funzioni scrivo:
P(circuito funziona) = 1 - P(circuito non funziona)
ossia:
P(circuito funziona) = 1 - (1 - p)(1 - p)(1 - p^2) =
1 - (1 - p)^2 * (1 - p^2) =
1 - (p^2 - 2p + 1)(1 -p^2) =
1 - (p^2 -2p + 1 - p^4 + 2p^3 - p^2) =
1 - (1 - 2p + 2p^3 - p^4) =
2p - 2p^3 + p^4 che è la risposta C.

[Caarletto]

non sono molto in accordo sul primo punto, nel calcolo della mediana i termini ripetuti vanno trascurati, pertanto, alla fine rimane la successione

4-5-6-7-8-9-10

composta da 7 numeri quindi dispari il valore dovrebbe pertanto essere quello esattamente al centro, quindi 7 la risposta D.

posso pure sbagliarmi però, nel caso ti prego di correggermi

[vindj]

Al quesito 13 la risposta deve essere per forza quella anche perchè assegnando un valore alla probabilità pari a 1 o a 0.9 nelle funzioni avremo una probabilità non compresa fra 0 e 1, quindi voto per la C
Quello della mediana invece mi sembra corretto.

[Blackjack]

per il quesito 19: è scritto anche chiaramente sul libro (se hai "Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze" vedi a pag. 246, osservazione 7.3.1) che non necessariamente l'ampiezza dell'intervallo di confidenza è maggiore quando nn si conosce la varianza, infatti tale ampiezza dipende dalla natura del campione, tuttavia in media essa è maggiore rispetto al caso in cui la varianza è conosciuta

per il quesito 13: mi sa che hai ragione tu mauscar in effetti nn avevo pensato ad una soluzione di questo genere però c'è da chiedersi: poichè entrambe le soluzioni sembrerebbero corrette dal punto di vista logico, perchè sono diverse? eppure entrambe le soluzioni dovrebbero rappresentare la stessa quantità...

EDIT: in effetti credo di aver sbagliato perchè non si possono semplicemente sommare le probabilità di due eventi che riguardano diversi rami... quindi le probabilità nei diversi rami sono applicate a 3 diversi spazi degli eventi e nn ha senso farne la somma

per il quesito 1: la mediana tiene conto anche di valori ripetuti!

PS: il quesito 4 qualcuno l'ha risolto? la risposta più ovvia sembrerebbe 0,85 però forse è troppo banale, e poi renderebbe il terzo dato (il 10% della popolazione è infetta) ridondante...

[MauScar]

PS: il quesito 4 qualcuno l'ha risolto? la risposta più ovvia sembrerebbe 0,85 però forse è troppo banale, e poi renderebbe il terzo dato (il 10% della popolazione è infetta) ridondante...

Io l'ho risolto con Bayes in questo modo:
P(infetta|positiva) =
(P(positiva|infetta) * P(infetta)) / ((P(positiva|infetta) * P(infetta)) + (P(positiva|non infetta) * P(non infetta))

In numeri:
P(infetta|positiva) = (0.95 * 0.10) / ((0.95 * 0.10) + (0.90 * 0.15))
A conti fatti viene 0,41304347826086956521739130434783 ossia la C.

Per il quesito 19: ti chiedo scusa Blackjack ma io non uso quel libro e non avendo mai trovato un esercizio in cui Is fosse minore di Ic ho sparato a razzo. Se lo dice il libro allora è B.

Cmq domani c'è l'esame, in bocca al lupo a tutti...

[Fast_and_Furious]

Ragazzi per qnt riguarda il quesito 17 mi trovo con il ragionamento ma non con il risultato ke secondo me è la d:

QUESITO 17
P(X1⋅X2)>0=P(X1>0,X2>0)+P(X1<0,X2<0)=1/2⋅1/3+1/2⋅1/3=2/6=1/3

[Blackjack]

azz che svista correggo subito

[ciraso]

ragazzi...se qualcuno mi spiega gentilmente il numero 17...non ho capito proprio la traccia! grazie

[Chaos88]

La probabilità che il prodotto delle variabili sia maggiore di zero, si ha quando entrambe sono positive o entrambe sono negative ne segue che:

QUESITO 17
$P(X_1*X_2) > 0 = P(X_1 > 0, X_2 >0) + P(X_1 < 0, X_2 <0) = 1/2*1/3 + 1/2*1/3 = 2/6 = 1/3$

Si fa il prodotto delle probabilità di quando sono negative e di quando sono positive e poi si sommano.
Una normale standard è per metà positiva e per metà negativa, dunque 1/2 mentre l'altra è per 1/3 positiva, 1/3 negativa e 1/3 è zero

Spero di essermi spiegato

[ciraso]

grazie mille ... ti sei spiegato benissimo!!!

[Splen7i7o Splen7en7e]

Per il quesito 13 avresti semplicemente potuto fare l'or

dei 2 rami con 1 solo interruttore

P(A) = P( = p e P(AintersecatoB) = p*p = p^2 (eventi indipendenti)

P(A) + P( - P (AintersecatoB) = p + p - p^2 = 2p - P^2

messo poi in or con la serie dei due interruttori (p^2)

P(A) + P( - P (AintersecatoB) = (2p - P^2) + (p^2) - (2p - P^2)(p^2)

= 2p - P^2 + P^2 - 2p^3 + p^4 = 2p - 2p^3 + 2p^4

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Ragionamento analogo si poteva fare anche al quesito 2

ovvero P(A) = P( = 0.2

e P(AintersecatoB) = P(A)*P( = 0.2*0.2 =0.04 (eventi indipendenti)

quindi

P(A) + P( - P(AintersecatoB) = 0.2 + 0.2 -0.04 = 0.36

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Al quesito 10 avrei risolto col teorema di bayes

X=(Componente Difettoso)
A=(Componente proveniente da A)
B=(Componente proveniente da

P(A|X) = 25%
P(A) = P( = 50%
P(X|A) = 5%
Devo calcolarmi la percentuale di componnti difettosi provenienti da B ovvero P(X|

Per il teorema di bayes:

P(A|X)= (P(X|A)*P(A)) / (P(X|A)*P(A) + P(X|*P()

Da cui posso facilmente calcolarmi P(X| = ( P(X|A)/P(A|X) ) - P(X|A) = 15%

[tanux]

qualcuno mi corregga se scrivo ca***te, in particolare per il quesito 16! inoltre, se qualcuno ha saputo fare il quesito 4 potrebbe gentilmente spiegare come l'ha fatto? grazie
QUESITO 1
facendo un conteggio, si ha che in totale sono 50 le persone intervistate, cioè un numero pari. questo vuol dire che, messe tutte le persone in ordine crescente (o decrescente, è uguale) per voto, la mediana è la media aritmetica tra il voto della 25ma persona e della 26ma persona, che sono rispettivamente 7 e 8, per cui la mediana è 7,5.

Secondo me è sbagliato...
io ragiono cosi: il numero di dati ke abbiamo nn è il numero di persone...ma bensi i dati ke ci da la traccia..in base a cio abbiamo 7 dati.essendo un numero dispari,la mediana è esattamente il valore centrale cioe il numero 7.
No?

[Chaos88]

Ha ragione blackjack

[Blackjack]

Ha ragione blackjack

grazie grazie

Secondo me è sbagliato...
io ragiono cosi: il numero di dati ke abbiamo nn è il numero di persone...ma bensi i dati ke ci da la traccia..in base a cio abbiamo 7 dati.essendo un numero dispari,la mediana è esattamente il valore centrale cioe il numero 7.
No?

i dati che ci da la traccia sono 2: i voti e i numeri delle persone intervistate raggruppate per voto; se si ragionasse nel modo in cui hai ragionato si renderebbe questo ultimo dato ridondante

[tanux]

vaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa bene!
Capito!