Corsi di Laurea

[mib85]

TRACCIA


QUESITO 3


a) Quando il cavo è posto alla temperatura ambiente $ T_c = 290°K $, la sua cifra di rumore è:

$ F_c = 1 + \frac{T_c}{T_0}(L-1) = 1 + \frac{290}{290}(L-1) = L = \frac{1}{G_c} $

dove $ \ T_0 = 290°K \ $, $ \ L = \frac{1}{4} \cdot l \ $ e $ \ l \ $ è la lunghezza del cavo.
Dalla formula di Friis ricaviamo la cifra di rumore totale del sistema:

$ F_{TOT} = 10^{\frac{F_c}{10}} + \frac{10^{\frac{F_{amp}}{10}} -1}{\frac{1}{10^{\frac{F_c}{10}}}} = 10^{\frac{l}{40}} + (10^0.9 - 1) \cdot 10^{\frac{l}{40}} = 10^{\frac{l}{40}} \cdot 10^0.9 <= 10^1.3 $

e quindi

$ 10^{\frac{l}{40}} <= 10^0.4 \ => \ \frac{l}{40} <= 0.4 \ => \ l <= 16 $

La lunghezza massima del cavo sarà dunque pari a 16 metri.

Utilizzando ancora una volta la formula di Friis, abbiamo:

$ F_{TOT} = 10^{\frac{F_{pre}}{10}} + \frac{ 10^{\frac{L \cdot l}{10}} -1 }{10^{\frac{G_{pre}}{10}}} + \frac{10^{\frac{F_{amp}}{10}} -1}{ 10^{\frac{G_{pre}}{10}}} \cdot 10^{\frac{F_c}{10}} = $

$ = 10^{0.6} + \frac{ 10^{2.5} -1 }{10^{\frac{G_{pre}}{10}}} + \frac{10^{0.9} -1}{ 10^{\frac{G_{pre}}{10}}} \cdot 10^{2.5} <= 10^{1.3} => $

$ => \frac{ 10^{2.5} -1 + 10^{3.4} - 10^{2.5} }{10^{\frac{G_{pre}}{10}}} <= 10^{1.3} - 10^{0.6} => 10^{\frac{G_{pre}}{10}} >= \frac{10^{3.4} - 1}{10^{1.3} - 10^{0.6}} => $

$ => G_{pre} >= 10 \log(\frac{10^{3.4} - 1}{10^{1.3} - 10^{0.6}}) ~~ 22 \ \ dB $

E quindi il guadagno minimo è $ G_{pre} = 22 \ \ dB $


QUESITO 4


a) Innanzitutto calcoliamo l'energia dei due segnali:

$ \epsilon_{1} = \int_{-oo}^{+oo} |s_1(t)|^2 dt = \int_{0}^{T} A^2 \sin^2(\frac{2\pi t}{T}) dt = \frac{A^2 T}{2} $

$ \epsilon_{2} = \epsilon_{1} = \frac{A^2 T}{2} $

$ \epsilon_{3} = \int_{-oo}^{+oo} |s_3(t)|^2 dt = \int_{0}^{T/2} A^2 \sin^2(\frac{2\pi t}{T}) dt = \frac{A^2 T}{4} $

$ \epsilon_{4} = 0;

Utilizzando la procedura di Gram-Schmidt, abbiamo:

$ \psi_{1}(t) = \frac{s_1(t)}{\sqrt{\epsilon_{1}}} = \frac{\sqrt{2}}{A \sqrt{T}} \cdot s_1(t) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}} \cdot \sin(\frac{2\pi t}{T}) \ \ , \ \ 0 <= t <= T $

La proiezione di $ s_2(t) $ su $ s_1(t) $ è::

$ c_{21} = \int_{-oo}^{+oo} s_2(t) \cdot \psi_{1}(t) dt = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T} s_2(t) \cdot \sin(\frac{2\pi t}{T}) dt = $

$ = A \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T/2} \sin^2(\frac{2\pi t}{T}) dt - A \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}} \int_{T/2}^{T} \sin^2(\frac{2\pi t}{T}) dt = $

$ = \frac{AT\sqrt{2}}{4\sqrt{T}} - \frac{AT\sqrt{2}}{4\sqrt{T}} = 0 $

e quindi

$ \psi_{2}(t) = \frac{s_2(t)}{\sqrt{\epsilon_{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{A \sqrt{T}} \cdot |s_1(t)| = {(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}} \cdot \sin(\frac{2\pi t}{T}) , \ \ \ 0 <= t <= T/2),(\ ,\ ),(-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}} \cdot \sin(\frac{2\pi t}{T}) , \ \ \ T/2 <= t <= T):} $

Le proiezioni di $ s_3(t) $ su $ s_1(t) $ e su $ s_2(t) $ sono:

$ c_{31} = \int_{-oo}^{+oo} s_3(t) \psi_1(t) dt = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T} s_3(t) \sin(\frac{2\pi t}{T}) dt = A\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T/2} \sin^2(\frac{2\pi t}{T}) dt = \frac{A}{2} \frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}} $

$ c_{32} = \int_{-oo}^{+oo} s_3(t) \psi_2(t) dt = A \int_{0}^{T/2} \psi_2(t) \sin(\frac{2\pi t}{T}) dt = A\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T/2} \sin^2(\frac{2\pi t}{T}) dt = \frac{A}{2} \frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}} $

Quindi la rappresentazione vettoriale dei segnali è:

$ S_1 = (A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}, 0) $

$ S_2 = (0, A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}) $

$ S_3 = (\frac{A}{2}\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}, \frac{A}{2}\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}) $

$ S_4 = (0, 0) $

Dove abbiamo utilizzato come basi $ \psi_1(t) $ e $ \psi_2(t) $.

La costellazione corrispondente è:

 20070323_1.jpeg   29,37K   2071 Download

c) La struttura del ricevitore ottimo è la seguente:

 20070323_2.jpeg   56,58K   2067 Download

I 4 segnali sono equiprobabili, quindi:

$ P(S_1) = P(S_2) = P(S_3) = P(S_4) = \frac{1}{4} $

Mentre le PDF condizionali sono:

$ f(r|S_1) = \frac{1}{\pi N_0} \cdot e^{-\frac{(r_1 + A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}})^2 + r_2^2}{N_0}} $

$ f(r|S_2) = \frac{1}{\pi N_0} \cdot e^{-\frac{r_1^2 + (r_2 - A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}})^2}{N_0}} $

$ f(r|S_3) = \frac{1}{\pi N_0} \cdot e^{-\frac{(r_1 + \frac{A}{2}\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}})^2 + (r_2 - \frac{A}{2}\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}})^2}{N_0}} $

$ f(r|S_4) = \frac{1}{\pi N_0} \cdot e^{-\frac{r_1^2 + r_2^2}{N_0}} $

Il valore di soglia tra $ S_1 $ e $ S_2 $ è:

$ P(S_1) f(r|S_1) {:(S_1),(>),(<),(S_2):} P(S_2) f(r|S_2) \ => \ \frac{f(r|S_1)}{f(r|S_2)} {:(S_1),(>),(<),(S_2):} \frac{P(S_2)}{P(S_2)} \ => \ \frac{\frac{1}{\pi N_0} \cdot e^{-\frac{(r_1 + A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}})^2 + r_2^2}{N_0}}}{\frac{1}{\pi N_0} \cdot e^{-\frac{r_1^2 + (r_2 - A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}})^2}{N_0}}} {:(S_1),(>),(<),(S_2):} 1 \ => $

$ => \frac{r_1^2 + (r_2 - A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}})^2 - (r_1 + A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}})^2 - r_2^2}{N_0} {:(S_1),(>),(<),(S_2):} 0 => $

$ => r_1^2 + r_2^2 - -2A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}r_2 + \frac{A^2 T}{2} - r_1^2 + 2A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}} r_2 - \frac{A^2 T}{2} - r_2^2 {:(S_1),(>),(<),(S_2):} 0 => $

$ => (r_1 - r_2) 2A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}} {:(S_1),(>),(<),(S_2):} 0 => r_1 {:(S_1),(>),(<),(S_2):} r_2 $

Ovvero, graficamente:

(l'immagine verrà postata prossimamente...)

Seguendo lo stesso ragionamento, otteniamo anche gli altri valori di soglia:

$ r_1 {:(S_1),(>),(<),(S_3):} r_2 + \frac{A}{2}\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}} $

(l'immagine verrà postata prossimamente...)

$ r_1 {:(S_1),(>),(<),(S_4):} \frac{A}{2}\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}} $

(l'immagine verrà postata prossimamente...)

$ r_2 {:(S_2),(>),(<),(S_3):} r_1 + \frac{A}{2}\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}} $

(l'immagine verrà postata prossimamente...)

$ r_2 {:(S_2),(>),(<),(S_4):} \frac{A}{2}\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}} $

(l'immagine verrà postata prossimamente...)

$ r_1 {:(S_3),(>),(<),(S_4):} - r_2 + \frac{A}{2}\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}} $

(l'immagine verrà postata prossimamente...)

Sovrapponendo i risultati ottenuti, possiamo ricavare le regioni di decisione:

(l'immagine verrà postata prossimamente...)

d) La probabilità di commettere un errore, ovvero di scegliere un segnale piuttosto che un altro, riguarda soltanto quesi segnali le cui regioni di decisione sono contigue.
Le probabilità di errore sono quindi:

$ P(e|S_1) <= Q(\frac{d_{13}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{14}}{\sqrt{2N_0}}) = Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

$ P(e|S_2) <= Q(\frac{d_{23}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{24}}{\sqrt{2N_0}}) = Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

$ P(e|S_3) <= Q(\frac{d_{13}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{23}}{\sqrt{2N_0}}) = 3Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{2N_0}}) $

$ P(e|S_4) <= Q(\frac{d_{14}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{24}}{\sqrt{2N_0}}) = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{2N_0}}) + 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

La probabilità di errore per simbolo, utilizzando la tecnica dell'union bound, è:

$ P_M <= \sum_{i=1}^{M} P(S_i) \cdot P(e|S_i) = \frac{1}{4}[P(e|S_1) + P(e|S_2) + P(e|S_3) + P(e|S_4)] = $
$ = \frac{3}{2}Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

e) Per ottenere una costellazione con la stessa probabilità di errore, ma minima energia media, è sufficiente traslare la costellazione in modo da far coincidere il "baricentro" con l'origine degli assi. Ciò si ottiene sottraendo $ \frac{1}{3}A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}} $ a tutte le coordinate di ciascun segnale. Otteniamo così:

$ S_1 = (\frac{2}{3}A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{3}A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}) $

$ S_2 = (- \frac{1}{3}A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}, \frac{2}{3}A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}) $

$ S_3 = (\frac{1}{6}A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}, \frac{1}{6}A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}) $

$ S_4 = (- \frac{1}{3}A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{3}A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}) $

Graficamente:

(l'immagine verrà postata prossimamente...)

la cui energia media sarà:

$ \epsilon_{AV} = \frac{25}{144}A^2 T $



SORGENTE:

[url=http://www.r0x.it/viewtopic.php?f=41&t=2197]TRACCIA[/url]





[u][b]QUESITO 3[/b][/u]





[b]a)[/b] Quando il cavo è posto alla temperatura ambiente \$ T_c = 290°K \$, la sua cifra di rumore è:



\$ F_c = 1 + \frac{T_c}{T_0}(L-1) = 1 + \frac{290}{290}(L-1) = L = \frac{1}{G_c} \$



dove \$ \ T_0 = 290°K \ \$, \$ \ L = \frac{1}{4} \cdot l \ \$ e \$ \ l \ \$ è la lunghezza del cavo.

Dalla formula di Friis ricaviamo la cifra di rumore totale del sistema:



\$ F_{TOT} = 10^{\frac{F_c}{10}} + \frac{10^{\frac{F_{amp}}{10}} -1}{\frac{1}{10^{\frac{F_c}{10}}}} = 10^{\frac{l}{40}} + (10^0.9 - 1) \cdot 10^{\frac{l}{40}} = 10^{\frac{l}{40}} \cdot 10^0.9 <= 10^1.3 \$



e quindi



\$ 10^{\frac{l}{40}} <= 10^0.4 \ => \ \frac{l}{40} <= 0.4 \ => \ l <= 16 \$



La lunghezza massima del cavo sarà dunque pari a 16 metri.



[b]b)[/b] Utilizzando ancora una volta la formula di Friis, abbiamo:



\$ F_{TOT} = 10^{\frac{F_{pre}}{10}} + \frac{ 10^{\frac{L \cdot l}{10}} -1 }{10^{\frac{G_{pre}}{10}}} + \frac{10^{\frac{F_{amp}}{10}} -1}{ 10^{\frac{G_{pre}}{10}}} \cdot 10^{\frac{F_c}{10}} = \$



\$ = 10^{0.6} + \frac{ 10^{2.5} -1 }{10^{\frac{G_{pre}}{10}}} + \frac{10^{0.9} -1}{ 10^{\frac{G_{pre}}{10}}} \cdot 10^{2.5} <= 10^{1.3} => \$



\$ => \frac{ 10^{2.5} -1 + 10^{3.4} - 10^{2.5} }{10^{\frac{G_{pre}}{10}}} <= 10^{1.3} - 10^{0.6} => 10^{\frac{G_{pre}}{10}} >= \frac{10^{3.4} - 1}{10^{1.3} - 10^{0.6}} => \$



\$ => G_{pre} >= 10 \log(\frac{10^{3.4} - 1}{10^{1.3} - 10^{0.6}}) ~~ 22 \ \ dB  \$



E quindi il guadagno minimo è \$ G_{pre} = 22 \ \ dB \$





[u][b]QUESITO 4[/b][/u]





[b]a)[/b] Innanzitutto calcoliamo l'energia dei due segnali:



\$ \epsilon_{1} = \int_{-oo}^{+oo} |s_1(t)|^2 dt = \int_{0}^{T} A^2 \sin^2(\frac{2\pi t}{T}) dt = \frac{A^2 T}{2} \$



\$ \epsilon_{2} = \epsilon_{1} = \frac{A^2 T}{2} \$



\$ \epsilon_{3} = \int_{-oo}^{+oo} |s_3(t)|^2 dt = \int_{0}^{T/2} A^2 \sin^2(\frac{2\pi t}{T}) dt = \frac{A^2 T}{4} \$



\$ \epsilon_{4} = 0;



Utilizzando la procedura di Gram-Schmidt, abbiamo:



\$ \psi_{1}(t) = \frac{s_1(t)}{\sqrt{\epsilon_{1}}} = \frac{\sqrt{2}}{A \sqrt{T}} \cdot s_1(t) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}} \cdot \sin(\frac{2\pi t}{T}) \ \ , \ \ 0 <= t <= T \$



La proiezione di \$ s_2(t) \$ su \$ s_1(t) \$ è::



\$ c_{21} = \int_{-oo}^{+oo} s_2(t) \cdot \psi_{1}(t) dt = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T} s_2(t) \cdot \sin(\frac{2\pi t}{T}) dt = \$



\$ = A \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T/2} \sin^2(\frac{2\pi t}{T}) dt - A \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}} \int_{T/2}^{T} \sin^2(\frac{2\pi t}{T}) dt = \$



\$ = \frac{AT\sqrt{2}}{4\sqrt{T}} - \frac{AT\sqrt{2}}{4\sqrt{T}} = 0 \$



e quindi



\$ \psi_{2}(t) = \frac{s_2(t)}{\sqrt{\epsilon_{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{A \sqrt{T}} \cdot |s_1(t)| = {(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}} \cdot \sin(\frac{2\pi t}{T}) , \ \ \ 0 <= t <= T/2),(\ ,\ ),(-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}} \cdot \sin(\frac{2\pi t}{T}) , \ \ \ T/2 <= t <= T):} \$



Le proiezioni di \$ s_3(t) \$ su \$ s_1(t) \$ e su \$ s_2(t) \$ sono:



\$ c_{31} = \int_{-oo}^{+oo} s_3(t) \psi_1(t) dt = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T} s_3(t) \sin(\frac{2\pi t}{T}) dt = A\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T/2} \sin^2(\frac{2\pi t}{T}) dt = \frac{A}{2} \frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}} \$



\$ c_{32} = \int_{-oo}^{+oo} s_3(t) \psi_2(t) dt = A \int_{0}^{T/2} \psi_2(t) \sin(\frac{2\pi t}{T}) dt = A\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T/2} \sin^2(\frac{2\pi t}{T}) dt = \frac{A}{2} \frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}} \$



Quindi la rappresentazione vettoriale dei segnali è:



\$ S_1 = (A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}, 0) \$



\$ S_2 = (0, A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}) \$



\$ S_3 = (\frac{A}{2}\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}, \frac{A}{2}\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}) \$



\$ S_4 = (0, 0) \$



Dove abbiamo utilizzato come basi \$ \psi_1(t) \$ e \$ \psi_2(t) \$.



[b]b)[/b] La costellazione corrispondente è:



[attachment=0]20070323_1.jpeg[/attachment]



[b]c)[/b] La struttura del ricevitore ottimo è la seguente:



[attachment=1]20070323_2.jpeg[/attachment]



I 4 segnali sono equiprobabili, quindi:



\$ P(S_1) = P(S_2) = P(S_3) = P(S_4) = \frac{1}{4} \$



Mentre le PDF condizionali sono:



\$ f(r|S_1) = \frac{1}{\pi N_0} \cdot e^{-\frac{(r_1 + A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}})^2 + r_2^2}{N_0}} \$



\$ f(r|S_2) = \frac{1}{\pi N_0} \cdot e^{-\frac{r_1^2 + (r_2 - A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}})^2}{N_0}} \$



\$ f(r|S_3) = \frac{1}{\pi N_0} \cdot e^{-\frac{(r_1 + \frac{A}{2}\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}})^2 + (r_2 - \frac{A}{2}\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}})^2}{N_0}} \$



\$ f(r|S_4) = \frac{1}{\pi N_0} \cdot e^{-\frac{r_1^2 + r_2^2}{N_0}} \$



Il valore di soglia tra \$ S_1 \$ e \$ S_2 \$ è:



\$ P(S_1) f(r|S_1) {:(S_1),(>),(<),(S_2):} P(S_2) f(r|S_2) \ => \ \frac{f(r|S_1)}{f(r|S_2)} {:(S_1),(>),(<),(S_2):} \frac{P(S_2)}{P(S_2)} \ => \ \frac{\frac{1}{\pi N_0} \cdot e^{-\frac{(r_1 + A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}})^2 + r_2^2}{N_0}}}{\frac{1}{\pi N_0} \cdot e^{-\frac{r_1^2 + (r_2 - A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}})^2}{N_0}}} {:(S_1),(>),(<),(S_2):} 1 \ => \$



\$ => \frac{r_1^2 + (r_2 - A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}})^2 - (r_1 + A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}})^2 - r_2^2}{N_0} {:(S_1),(>),(<),(S_2):} 0 => \$



\$ => r_1^2 + r_2^2 - -2A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}r_2 + \frac{A^2 T}{2} - r_1^2 + 2A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}} r_2 - \frac{A^2 T}{2} - r_2^2 {:(S_1),(>),(<),(S_2):} 0 => \$



\$ => (r_1 - r_2) 2A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}} {:(S_1),(>),(<),(S_2):} 0 => r_1 {:(S_1),(>),(<),(S_2):} r_2 \$



Ovvero, graficamente:



[color=green][b](l'immagine verrà postata prossimamente...)[/b][/color]



Seguendo lo stesso ragionamento, otteniamo anche gli altri valori di soglia:



\$ r_1 {:(S_1),(>),(<),(S_3):} r_2 + \frac{A}{2}\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}} \$



[color=green][b](l'immagine verrà postata prossimamente...)[/b][/color]



\$ r_1 {:(S_1),(>),(<),(S_4):} \frac{A}{2}\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}} \$



[color=green][b](l'immagine verrà postata prossimamente...)[/b][/color]



\$ r_2 {:(S_2),(>),(<),(S_3):} r_1 + \frac{A}{2}\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}} \$



[color=green][b](l'immagine verrà postata prossimamente...)[/b][/color]



\$ r_2 {:(S_2),(>),(<),(S_4):} \frac{A}{2}\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}} \$



[color=green][b](l'immagine verrà postata prossimamente...)[/b][/color]



\$ r_1 {:(S_3),(>),(<),(S_4):} - r_2 + \frac{A}{2}\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}} \$



[color=green][b](l'immagine verrà postata prossimamente...)[/b][/color]



Sovrapponendo i risultati ottenuti, possiamo ricavare le regioni di decisione:



[color=green][b](l'immagine verrà postata prossimamente...)[/b][/color]



[b]d)[/b] La probabilità di commettere un errore, ovvero di scegliere un segnale piuttosto che un altro, riguarda soltanto quesi segnali le cui regioni di decisione sono contigue.

Le probabilità di errore sono quindi:



\$ P(e|S_1) <= Q(\frac{d_{13}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{14}}{\sqrt{2N_0}}) = Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) \$



\$ P(e|S_2) <= Q(\frac{d_{23}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{24}}{\sqrt{2N_0}}) = Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) \$



\$ P(e|S_3) <= Q(\frac{d_{13}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{23}}{\sqrt{2N_0}}) = 3Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{2N_0}}) \$



\$ P(e|S_4) <= Q(\frac{d_{14}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{24}}{\sqrt{2N_0}}) = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{2N_0}}) + 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) \$



La probabilità di errore per simbolo, utilizzando la tecnica dell'union bound, è:



\$ P_M <= \sum_{i=1}^{M} P(S_i) \cdot P(e|S_i) = \frac{1}{4}[P(e|S_1) + P(e|S_2) + P(e|S_3) + P(e|S_4)] = \$

\$ = \frac{3}{2}Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) \$



[b]e)[/b] Per ottenere una costellazione con la stessa probabilità di errore, ma minima energia media, è sufficiente traslare la costellazione in modo da far coincidere il "baricentro" con l'origine degli assi. Ciò si ottiene sottraendo \$ \frac{1}{3}A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}} \$ a tutte le coordinate di ciascun segnale. Otteniamo così:



\$ S_1 = (\frac{2}{3}A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{3}A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}) \$



\$ S_2 = (- \frac{1}{3}A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}, \frac{2}{3}A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}) \$



\$ S_3 = (\frac{1}{6}A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}, \frac{1}{6}A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}) \$



\$ S_4 = (- \frac{1}{3}A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{3}A\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{2}}) \$



Graficamente:



[color=green][b](l'immagine verrà postata prossimamente...)[/b][/color]



la cui energia media sarà:



\$ \epsilon_{AV} = \frac{25}{144}A^2 T \$

[d-Enzo]

non darmi dell'imbecille, ma a volte mi perdo nei proverbiali bicchieri d'acqua: la primissima formula del quesito 3 da dove esce?

[mib85]

Eh, questa è una bella domanda!

Leon W. Couch - "Fondamenti di telecomunicazioni" - Apogeo

Sul Proakis mi sa che non c'è la stessa. Però credo ci sia sicuramente qualcosa di simile....

[d-Enzo]

Eh, questa è una bella domanda!

Leon W. Couch - "Fondamenti di telecomunicazioni" - Apogeo

Sul Proakis mi sa che non c'è la stessa. Però credo ci sia sicuramente qualcosa di simile....

ah allora non ero io che scleravo, visto che nel Proakis non c'era quella formula ma una banale $F=1+T/T_o$

poi L per i cavi è uguale all'attenuazione x metro?

edit: c'ha pensato wikipedia in inglese, lol

[mib85]

c'ha pensato wikipedia in inglese

Potresti postare il link? Grazie!

[d-Enzo]

c'ha pensato wikipedia in inglese

Potresti postare il link? Grazie!

Noise_figure
scusa ma poi perchè $L=l/4$? Sta parte proprio non mi entra nel cervello

[mib85]

Ho semplicemente moltiplicato l'attenuazione per metro per la lunghezza del cavo, così da ottenere l'attenuazione totale del cavo.

[d-Enzo]

Ho semplicemente moltiplicato l'attenuazione per metro per la lunghezza del cavo, così da ottenere l'attenuazione totale del cavo.

ah già ... scusa

[d-Enzo]

una "curiosità" stavolta sull'esercizio 4! Tu hai trovato le basi con Gram Schmidt e facendo così si perde più tempo ma di sicuro non si sbagliano a trovare le due basi.
Però, per via grafica, io posso anche trovare in maniera più "sbrigativa" un'altra coppia di basi ortonormali a cioè

$psi_1 = 2/sqrtT sin((2 pi t)/T)$ per $0 <= t <= T/2$

$psi_2 = -2/sqrtT sin((2 pi t)/T)$ per $T/2 <= t <= T$

su cui poi proietto i quattro simboli

Va bene?

[mib85]

Sì, dovrebbe andare bene! Anzi, va bene anche senza il "meno" alla seconda base. Oppure entrambe col meno o ancora la prima col meno e la seconda no.
Quando l'ho svolta ero ancora "alle prime armi"...

[d-Enzo]

Sì, dovrebbe andare bene! Anzi, va bene anche senza il "meno" alla seconda base. Oppure entrambe col meno o ancora la prima col meno e la seconda no.
Quando l'ho svolta ero ancora "alle prime armi"...

ovvio ... ho messo il meno a $psi_2$ così prendo due basi che hanno i lobi positivi e così poi la costellazione esce semplice semplice

[duracell]

nelle pdf condizionali mi pare che ci sono errori di segno, le enegie sono tutte positive quindi nella gaussiana rimane il termine - , cmq grazie mi sono d'auito questi esercizi!

[Peppeweb]

Ragazzi a me il primo quesito non mi convince, lui dice che la Temp ambiente è 290K ma secondo me è un dato superfluo perchè alla fine è sempre quella la temperatura ambiente, se avesse specificato la Temperatura equivalente di rumore allora avrei fatto il ragionamento con la formula $ (1+ (Te)/(T0))

[vi]

Dato che la traccia si limita a dare solamente l'indicazione sulla temperatura ambiente non vedo altre soluzioni plausibili (a rigor di formule) allo svolgimento della traccia, seppur, come è stato fatto notare, a conti fatti risulta un dato del tutto inutile.

[d-Enzo]

attenzione, non è perchè non usiamo effettivamente nei calcoli la costante di temperatura ambiente tale dato sia inutile! Senza questa condizione non si può usare Friis "crudamente"

[uomocheride]

ho dei dubbi sui punti d ed e dell'esercizio 4:

d) Perchè la P(e|S-1) è $<= Q(d13/sqrt(2 N0)) + Q ( d14/ sqrt ( 2 N0)) $ ? l'argomento di Q non dovrebbe essere $ 2d/ sqrt (No) $ ?

e) perchè l'energia minima si otterrebbe spostando il "baricentro" sull'asse delle ascisse?

[mercurio]

no la formula della Q è buona...io invece nn mi trovo con i risultati di P(e|s3) e P(e|s4)

[uomocheride]

ma se $ P(e)= Q(sqrt(2epsilon/No))$ e $d= sqrt(epsilon/2)$ => $epsilon=2d^2$ quindi $P(e)=Q(sqrt((4d^2)/N0))=Q(2d/sqrt(N0)).

o no?

[mercurio]

la distanza nn è quella che dici tu....poi dipende da quali segnali consideri....

[uomocheride]

ma la distanza tra S1 e S3 non è $d13=sqrt( ( A sqrt(T/2)-A/2 cdot (sqrt(T/2)))^2 + (A/2 cdot (sqrt(T/2)))^2)$ ? => $d13=sqrt( (A/2 cdot (sqrt(T/2)))^2 + (A/2 cdot (sqrt(T/2)))^2) = sqrt( 2 ( A/2 cdot (sqrt(T/2)))^2) = sqrt( (2(A^2 T))/8) = (A/2) cdot (sqrt(T/2))= sqrt(epsilon)/2$