Accedi
Registrati ora!
QUESITO 3
a) Per la modulazione AM, abbiamo che l'SNR in uscita è dato da:
$ (\frac{S}{N})_{O,AM} = \frac{a^2 P_{M_n}}{1 + a^2 P_{M_n}} (\frac{S}{N})_{b} = \frac{a^2 P_{M_n}}{1 + a^2 P_{M_n}} \frac{P_R}{N_0 W} >= 10^3 \ \ (30 dB) $
quindi
$ P_R >= \frac{33}{8} \cdot 10^{-8} \ \ (= P_{R_min}) $
La massima attenuazione si ha per la minima $ P_R $, ovvero
$ L_{MAX} = \frac{P_T}{P_{R_min}} = \frac{8}{33} \cdot 10^9 \ \ (83.8 dB) $
Per la modulazione FM, abbiamo che la banda passante è di 150 KHz. Utilizzando la regola di Carson vediamo che$ B_c = 2(\beta_{f} + 1)W <= B \ => \ \beta_{f} <= 6.5 $
Quindi gli unici indici di modulazione consentiti sono 1 e 5 poiché con $ \beta_{f} = 10 $ andiamo oltre la banda passante.
L'SNR in uscita è:
$ (\frac{S}{N})_{O,FM} = 3 \beta_{f}^{2} P_{M_n} (\frac{S}{N})_{b} = 3 \beta_{f}^{2} P_{M_n} \frac{P_R}{N_0 W} >= 10^3 \ \ (30 dB) $
e quindi
$ P_R >= \frac{1}{\beta_{f}^{2}} \ cdot \frac{2}{3} \cdot 10^{-8} \ \ (=P_{R_min}) $
La massima attenuazione si ha per la minima $ P_R $, ovvero
$ L_{MAX} = \frac{P_T}{P_{R_min}} = \frac{3}{2} \beta_{f}^{2} \cdot 10^9 = {(\frac{3}{2} \cdot 10^9 \ \ (91.76 dB), \ \ \ \text{se} \ \beta_{f}=1),(\ ,\ ),(\frac{75}{2} \cdot 10^9 \ \ (105.74 dB), \ \ \ \text{se} \ \beta_{f}=5):} $
QUESITO 4
Innanzitutto calcoliamo l'energia dei due segnali:
$ \epsilon_{1} = \int_{-oo}^{+oo} |s_1(t)|^2 dt = 0 $
$ \epsilon_{2} = \int_{-oo}^{+oo} |s_2(t)|^2 dt = \int_{0}^{T} A^2 dt = A^2 T $
Poi troviamo una base ortonormale per lo spazio dei segnali utilizzando la procedura di Gram-Schmidt e partendo dal segnale $ s_2(t) $:
$ \psi_{2}(t) = \frac{s_2(t)}{\sqrt{\epsilon_{2}}} = \frac{s_2(t)}{A \sqrt{T}} = \frac{1}{\sqrt{T}} \ \ , \ \ 0 <= t <= T $
Caloliamo la proiezione del segnale $ s_1(t) $ su $ s_2(t) $:
$ c_{12} = \int_{-oo}^{+oo} s_1(t) \cdot \psi_{2}(t) dt = 0 $
Quindi i due segnali si posson rappresentar come:
$ S_1 = 0 \ \ $ e $ \ \ S_2 = A \sqrt{T} $
Sappiamo inoltre che le probabilità di trasmettere i due segnali sono:
$ P(S_1) = p \ \ $ e $ \ \ P(S_2) = 1 - p $
a) L'energia media è data da:
$ \epsilon_{AV} = \sum_{m=1}^{M} P(S_m) \cdot \epsilon_{m} = (1-p) \cdot A^2 T $
La struttura del ricevitore ottimo è la seguente:
20070215_1.jpeg 51,56K
2132 DownloadA questo punto ricaviamo le PDF condizionali dei due segnali:
$ f(r|S_1) = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{(r-\sqrt{\epsilon_{1}})^2}{N_0}} = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{r^2}{N_0}} $
$ f(r|S_2) = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{(r-\sqrt{\epsilon_{2}})^2}{N_0}} = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{(r-A\sqrt{T})^2}{N_0}} $
Il valore di soglia si ricava ponendo
$ P(S_1) f(r|S_1) {:(S_1),(>),(<),(S_2):} P(S_2) f(r|S_2) \ => \ \frac{f(r|S_1)}{f(r|S_2)} {:(S_1),(>),(<),(S_2):} \frac{P(S_2)}{P(S_2)} \ => \ \frac{\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{r^2}{N_0}}}{\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{(r-A\sqrt{T})^2}{N_0}}} {:(S_1),(>),(<),(S_2):} \frac{1-p}{p} \ =>$
$ => \frac{(r-a\sqrt{T})^2 - r^2}{N_0} {:(S_1),(>),(<),(S_2):} \ln(\frac{1-p}{p}) \ => \ r^2 - 2 A \sqrt{T} r + A^2 T - r^2 {:(S_1),(>),(<),(S_2):} N_0 \cdot \ln(\frac{1-p}{p}) \ => $
$ => 2 A \sqrt{T} r {:(S_2),(>),(<),(S_1):} A^2 T - N_0 \cdot \ln(\frac{1-p}{p}) \ => \ r {:(S_2),(>),(<),(S_1):} \frac{A \sqrt{T}}{2} - \frac{N_0}{2 A \sqrt{T}} \cdot \ln(\frac{1-p}{p}) $
Quindi il valore di soglia sarà proprio $ \frac{A \sqrt{T}}{2} - \frac{N_0}{2 A \sqrt{T}} \cdot \ln(\frac{1-p}{p}) $
SORGENTE:
[url=http://www.r0x.it/viewtopic.php?f=41&t=2197]TRACCIA[/url]
[u][b]QUESITO 3[/b][/u]
[b]a)[/b] Per la modulazione AM, abbiamo che l'SNR in uscita è dato da:
\$ (\frac{S}{N})_{O,AM} = \frac{a^2 P_{M_n}}{1 + a^2 P_{M_n}} (\frac{S}{N})_{b} = \frac{a^2 P_{M_n}}{1 + a^2 P_{M_n}} \frac{P_R}{N_0 W} >= 10^3 \ \ (30 dB) \$
quindi
\$ P_R >= \frac{33}{8} \cdot 10^{-8} \ \ (= P_{R_min}) \$
La massima attenuazione si ha per la minima \$ P_R \$, ovvero
\$ L_{MAX} = \frac{P_T}{P_{R_min}} = \frac{8}{33} \cdot 10^9 \ \ (83.8 dB) \$
[b]b)[/b] Per la modulazione FM, abbiamo che la banda passante è di 150 KHz. Utilizzando la regola di Carson vediamo che
\$ B_c = 2(\beta_{f} + 1)W <= B \ => \ \beta_{f} <= 6.5 \$
Quindi gli unici indici di modulazione consentiti sono 1 e 5 poiché con \$ \beta_{f} = 10 \$ andiamo oltre la banda passante.
L'SNR in uscita è:
\$ (\frac{S}{N})_{O,FM} = 3 \beta_{f}^{2} P_{M_n} (\frac{S}{N})_{b} = 3 \beta_{f}^{2} P_{M_n} \frac{P_R}{N_0 W} >= 10^3 \ \ (30 dB) \$
e quindi
\$ P_R >= \frac{1}{\beta_{f}^{2}} \ cdot \frac{2}{3} \cdot 10^{-8} \ \ (=P_{R_min}) \$
La massima attenuazione si ha per la minima \$ P_R \$, ovvero
\$ L_{MAX} = \frac{P_T}{P_{R_min}} = \frac{3}{2} \beta_{f}^{2} \cdot 10^9 = {(\frac{3}{2} \cdot 10^9 \ \ (91.76 dB), \ \ \ \text{se} \ \beta_{f}=1),(\ ,\ ),(\frac{75}{2} \cdot 10^9 \ \ (105.74 dB), \ \ \ \text{se} \ \beta_{f}=5):} \$
[u][b]QUESITO 4[/b][/u]
Innanzitutto calcoliamo l'energia dei due segnali:
\$ \epsilon_{1} = \int_{-oo}^{+oo} |s_1(t)|^2 dt = 0 \$
\$ \epsilon_{2} = \int_{-oo}^{+oo} |s_2(t)|^2 dt = \int_{0}^{T} A^2 dt = A^2 T \$
Poi troviamo una base ortonormale per lo spazio dei segnali utilizzando la procedura di Gram-Schmidt e partendo dal segnale \$ s_2(t) \$:
\$ \psi_{2}(t) = \frac{s_2(t)}{\sqrt{\epsilon_{2}}} = \frac{s_2(t)}{A \sqrt{T}} = \frac{1}{\sqrt{T}} \ \ , \ \ 0 <= t <= T \$
Caloliamo la proiezione del segnale \$ s_1(t) \$ su \$ s_2(t) \$:
\$ c_{12} = \int_{-oo}^{+oo} s_1(t) \cdot \psi_{2}(t) dt = 0 \$
Quindi i due segnali si posson rappresentar come:
\$ S_1 = 0 \ \ \$ e \$ \ \ S_2 = A \sqrt{T} \$
Sappiamo inoltre che le probabilità di trasmettere i due segnali sono:
\$ P(S_1) = p \ \ \$ e \$ \ \ P(S_2) = 1 - p \$
[b]a)[/b] L'energia media è data da:
\$ \epsilon_{AV} = \sum_{m=1}^{M} P(S_m) \cdot \epsilon_{m} = (1-p) \cdot A^2 T \$
[b]b)[/b] La struttura del ricevitore ottimo è la seguente:
[attachment=0]20070215_1.jpeg[/attachment]
A questo punto ricaviamo le PDF condizionali dei due segnali:
\$ f(r|S_1) = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{(r-\sqrt{\epsilon_{1}})^2}{N_0}} = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{r^2}{N_0}} \$
\$ f(r|S_2) = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{(r-\sqrt{\epsilon_{2}})^2}{N_0}} = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{(r-A\sqrt{T})^2}{N_0}} \$
Il valore di soglia si ricava ponendo
\$ P(S_1) f(r|S_1) {:(S_1),(>),(<),(S_2):} P(S_2) f(r|S_2) \ => \ \frac{f(r|S_1)}{f(r|S_2)} {:(S_1),(>),(<),(S_2):} \frac{P(S_2)}{P(S_2)} \ => \ \frac{\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{r^2}{N_0}}}{\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{(r-A\sqrt{T})^2}{N_0}}} {:(S_1),(>),(<),(S_2):} \frac{1-p}{p} \ =>\$
\$ => \frac{(r-a\sqrt{T})^2 - r^2}{N_0} {:(S_1),(>),(<),(S_2):} \ln(\frac{1-p}{p}) \ => \ r^2 - 2 A \sqrt{T} r + A^2 T - r^2 {:(S_1),(>),(<),(S_2):} N_0 \cdot \ln(\frac{1-p}{p}) \ => \$
\$ => 2 A \sqrt{T} r {:(S_2),(>),(<),(S_1):} A^2 T - N_0 \cdot \ln(\frac{1-p}{p}) \ => \ r {:(S_2),(>),(<),(S_1):} \frac{A \sqrt{T}}{2} - \frac{N_0}{2 A \sqrt{T}} \cdot \ln(\frac{1-p}{p}) \$
Quindi il valore di soglia sarà proprio \$ \frac{A \sqrt{T}}{2} - \frac{N_0}{2 A \sqrt{T}} \cdot \ln(\frac{1-p}{p}) \$
Torna su
Segnala
ecco la conclusione a tutto:
, ma cos'è il valore della soglia richiesto nella traccia?? Il valore diciamo di congiunzione tra le due regioni di decisione??.... veramente non lo so, mai incontrato... 
