Corsi di Laurea

[Chaos88]

Visto che oggi a lezione c'erano davvero poche persone, posto qui traccia e soluzione degli esercizi fatti oggi sperando di fare cosa gradita

1) Determinare la polarizzazione delle antenne che irradiano i seguenti campi:

[*:2j160zry]$ul E(ul r_0) = hat theta - jhat Phi$
[*:2j160zry]$ul E(ul r_0) = 3e^(j(pi/6))hat theta + 4e^(j(pi/6))hat Phi
[*:2j160zry]$ul E(ul r_0) = 3e^(j(pi/6))hat theta - 4e^(j(pi/4))hat Phi
[*:2j160zry]$ul E(ul r_0) = e^(j(pi/4))hat theta
Ricordiamo innanzitutto che si può sempre scomporre il vettore $ul E(ul r_0)$ nelle sue componenti, reale ed immaginaria si ha:

$ul E(ul r_0) = ul E_r + jul E_i$

Caso 1:
$ul E(ul r_0) = ul E_r + jul E_i = hat theta - jhat Phi$

Ne segue che:
$ul E_r = hat theta$
$ul E_i = -hat Phi$

Si osserva che il modulo dei due vettori è unitario e quindi uguale per entrambi. Si nota inoltre che giacendo un vettore lungo $theta$ ed uno lungo $Phi$ essi sono anche perpendicolari, ne segue che la polarizzazione è circolare.
Per capire se la polarizzazione è destrorsa o sinistrorsa bisogna analizzare il vettore instantaneo nel dominio del tempo. Quindi:
$ul e (ul r_0, t) = Re[ul E(ul r_0)e^(jomega_0t)] = ul E_rcos(omega_0t) - ul E_isin(omega_0t)$

[*:2j160zry] $t = 0 -> ul e = ul E_r$
[*:2j160zry] $t = pi/(2omega_0) -> ul e = -ul E_i$
[*:2j160zry] $t = pi/(omega_0) -> ul e = -ul E_r$
[*:2j160zry] $t = 3pi/(2omega_0) -> ul e = ul E_i$
[*:2j160zry] $t = 2pi/(omega_0) -> ul e = -ul E_r$
Si osserva che l'andamento dei vettori è antiorario, dunque la polarizzazione è CIRCOLARE DESTRORSA.


Caso 2:
$ul E(ul r_0) = 3e^(j(pi/6))hat theta + 4e^(j(pi/6))hat Phi =
$= 3(cos(pi/6) + jsin(pi/6))hat theta + 4((cos(pi/6) + jsin(pi/6))hat Phi =$
$= sqrt(3)/2(3 hattheta + 4 hat Phi) + j1/2(3 ul theta + 4hat Phi) $

Adesso posti:

$ul E_r = sqrt(3)/2(3 hat theta + 4 hat Phi)$
$ul E_i = j1/2(3 hat theta + 4 hat Phi)$

Si osserva in modo evidente che la differenza di fase tra i due vettori è pari a $0$ e quindi la polarizzazione non può che essere LINEARE.

Caso 3:
$ul E(ul r_0) = 3e^(j(pi/6))hat theta - 4e^(j(pi/4))hat Phi =$
$= 3(cos(pi/6) + jsin(pi/6))hat theta - 4(cos(pi/4) - jsin(pi/4))hat Phi =$
$= 3(sqrt(3)/2 + 1/2j)hat theta - (2sqrt(2) + 2sqrt(2)j) hat Phi =$
$= (3sqrt(2)/2 hat theta + 2sqrt(2)hat Phi) +j(3/2hat theta + 2sqrt(2)hat Phi) $
A questo punto posti:
$ul E_r = (3sqrt(2)/2 hat theta + 2sqrt(2)hat Phi)$
$ul E_i = j(3/2hat theta + 2sqrt(2)hat Phi)$
Si osserva che i due vettori sono diversi in modulo e fase e quindi la polarizzazione è necessariamente ellittica. Inoltre con considerazioni del tutto analoghe al caso 2 si osserva che la polarizzazione è ELLITTICA SINISTRORSA.

Caso 4:
$ul E(ul r_0) = e^(j(pi/4))hat theta$
Quando c'è un solo termine la polarizzazione è obbligatoriamente LINEARE, giacchè i due vettori giacciono lungo la stessa direzione.


2) Alla frequenza $f=50Mhz$ determinare l'efficienza di radiazione ed il guadagno di un'antenna lineare realizzata con un filo di rame ed alimentata al centro. L'antenna è lunga $12cm$ ed ha raggio di $3mm$. Alla frequenza di lavoro il rame ha $mu=mu_0$ e $sigma = 5,8*10^7 S/m$.

L'efficienza di radiazione si calcola come:

$eta = P_(rad)/P_(in) = P_(rad)/(P_(rad)+P_(loss)) = R_(rad)/(R_(rad)+R_(loss))$

Bisogna quindi calcolare la resistenza di radiazione e la resistenza dovuta alle perdite. E' tuttavia impossibile in questo momento calcolarla senza fare ulteriori ipotesi.
Si calcola quindi la lunghezza d'onda:

$lambda = C_0/f = 3*10^8/(5*10^7) = 6m$

Dopo aver calcolato la lunghezza d'onda si osserva che:

$L < < lambda$

La lunghezza dell'antenna è molto minore della lunghezza d'onda e l'antenna può quindi essere assimilata ad un dipolo Hertziano.
Per un dipolo Hertziano la potenza irradiata è:

$P_(rad) = pi/3 * zeta_0(L/lambda_0)^2|I_0|^2 = 1/2 R_(rad)|I_0|^2

Si ha quindi:
$R_(rad) = 2/3pi*zeta_0(L/lambda_0)^2 = 0.316$

avendo supposto $zeta_0 ~= 120pi$

C'è da calcolare ancora $R_(loss)$:
$R_(loss) = L/(2pi*a)*sqrt(((pi*f*mu)/(sigma))) = 0.12/(2pi*0.003)*sqrt(((5pi*10^7*4pi*10^(-7))/(5.8*10^7))) = 0.012$

Si ha quindi:

$eta = P_(rad)/P_(in) = P_(rad)/(P_(rad)+P_(loss)) = R_(rad)/(R_(rad)+R_(loss)) = 0.96$

Ricordando che per un dipolo Herztiano il guadagno è pari a $1,5gamma$ si ha che:

$G = 1.44 $ ovvero $G_(dBi) = 1.58$

3) Calcolare la direttività di un sistema di due dipoli Hertziani allineati e con la stessa corrente, posti a distanza $ d=lambda/2$:
Si suppone innanzitutto di essere in zona lontana sia dai singoli dipoli che dall'intera struttura.
Da completare

N.B. Potrebbero esserci degli errori dovuti alla battitura.