Corsi di Laurea

[fede1990]

Ragazzi se qualcuno gentilmente mi può aiutare a risolvere questa media temporale di un fasore a TD:

$ <e^(j2\pi(\nu_1-\nu_2)n)> $

 

sò che teoricamente questa media deve fare 1 se le due frequenze sono uguali e anche attraverso l'uso della formula mi trovo:

$ <e^(j2\pi(\nu_1-\nu_2)n)> = lim_(N->+\infty)1/(2N+1)\sum_(n=-N)^N1 = lim_(N->+\infty)1/(2N+1)*(2N+1) = 1 $

 

il problema è quando le due frequenze sono diverse, sò che teoricamente la media deve essere uguale a 0 grazie al fatto che il coseno e il seno oscillano in modo equo sulla parte reale e sulla parte immaginaria e di conseguenza la media deve essere nulla. Però volevo questa conferma anche a livello di calcoli, ma non sò come procedere con questo limite:

$ <e^(j2\pi(\nu_1-\nu_2)n)> = lim_(N->+\infty)1/(2N+1)\sum_(n=-N)^Ne^(j2\pi(\nu_1-\nu_2)n) = lim_(N->+\infty)(\sum_(n=-N)^Ne^(j2\pi(\nu_1-\nu_2)n))/(2N+1) = ...?..... = 0 $

[fede1990]

Ragazzi non ho la certezza ma forse ragionare in questo modo mi porta al risultato. Ho pensato di portarmi fuori dalla sommatoria l'esponenziale elevato solo alla differenza delle frequenze e quindi rimanere all'interno della sommatoria l'esponenziale elevato a $ j2\pin $, in questo modo esprimendo l'esponenziale in forma trigonometrica avremo:

 

$ lim_(N->+\infty)(\sum_(n=-N)^Ne^(j2\pi(\nu_1-\nu_2)n))/(2N+1) = lim_(N->+\infty)(e^((\nu_1-\nu_2))\sum_(n=-N)^Ne^(j2\pin))/(2N+1) = lim_(N->+\infty)(e^((\nu_1-\nu_2))\sum_(n=-N)^N[cos(2\pin)+jsen(2\pin)])/(2N+1) = $

 

a questo punto svolgendo la sommatoria, visto che la N deve appartenere all'insieme dei numeri naturali e quindi la variabile n è un numero pari o dispari, il termine coseno sarà sempre uguale ad 1 mentre il termine seno sarà sempre uguale a 0. E quindi quello che mi rimane al numeratore è solamente l'esponenziale elevato alla differenza delle frequenze che è semplicemente un numero. E visto che al denominatore abbiamo un infinito, allora questo limite è uguale a 0:

 

$ lim_(N->+\infty)(e^((\nu_1-\nu_2))(1+0))/(2N+1) = lim_(N->+\infty)(e^((\nu_1-\nu_2)))/(2N+1) = 0 $

 

Vi trovate raga nei passaggi? oppure c'è qualcosa di strano?

 

AGGIORNAMENTO: ho sbagliato nel levare la sommatoria, cioè rimane solo il coseno che fa 1 e di conseguenza la sommatoria mi darà $ (2N+1) $:

 

$ = lim_(N->+\infty)(e^((\nu_1-\nu_2))\sum_(n=-N)^N[cos(2\pin)+jsen(2\pin)])/(2N+1) = lim_(N->+\infty)(e^((\nu_1-\nu_2)(2N+1)))/(2N+1) $

 

quindi non mi trovo che il limite esce 0... nessuno mi sa aiutare?