Corsi di Laurea

[atipico]

Buonasera,
negli esercizi d'esame dove viene richiesto di calcolare la serie di Fourier di soli seni o di soli coseni in taluni casi nello svoglimento viene effettuato anche un prolungamento della funzione (dunque del periodo e semiperiodo) ed in altri invece no.
Ebbene potrebbe qualcuno spiegarmi in base a quale criterio viene effettuata questa scelta?
grazie

[atipico]

In particolare non capisco perchè venga raddoppiato il periodo e come procedere.

[atipico]

per evitare di non intenderci prendo ad esempio un esercizio tratto dal libro "verso l'esame di mat.III" pag.190 n.1

Calcolare la serie di Fourier di soli Seni

$ f(x)=x/x={((8x)/pi,0<=x<=pi/4),(2,pi/4<=x<=2pi):} $

mi indicate come procedere?

[vmar93]

Buonasera,
negli esercizi d'esame dove viene richiesto di calcolare la serie di Fourier di soli seni o di soli coseni in taluni casi nello svoglimento viene effettuato anche un prolungamento della funzione (dunque del periodo e semiperiodo) ed in altri invece no.
Ebbene potrebbe qualcuno spiegarmi in base a quale criterio viene effettuata questa scelta?
grazie

Per sviluppare F(x) in serie di soli seni è necessario che F(x) sia periodica e dispari. Se non lo è, e ti richiede lo sviluppo di soli seni, te la devi prolungare in modo tale da essere, appunto, dispari e periodica

[atipico]

@vmar93

Se non lo è, e ti richiede lo sviluppo di soli seni, te la devi prolungare in modo tale da essere, appunto, dispari e periodica

mi potresti spiegare come procedere generalmente in questo caso appunto?
puoi prendere in considerazione anche l'esempio che ho aggiunto se vuoi.

[vmar93]

per evitare di non intenderci prendo ad esempio un esercizio tratto dal libro "verso l'esame di mat.III" pag.190 n.1

Calcolare la serie di Fourier di soli Seni

$ f(x)=x/x={((8x)/pi,0<=x<=pi/4),(2,pi/4<=x<=2pi):} $

mi indicate come procedere?

quando hai $8x/pi$ hai che il tuo periodo è di $pi/4$, per cui estendi alla sinistra fino ad arrivare a $-pi/4$. Quindi
$ f(x)=x/x={((8x)/pi,-pi/4<=x<=pi/4),(2,pi/4<=x<=2pi):} $. La funzione prolungata dovrebbe essere questa, non vorrei averti detto una palla per quanto riguarda il valore costante $2$ sinceramente non ricordo preciso come funzioni la cosa..

[atipico]

in effetti è così, ma onestamente non capisco quale sia il procedimento metodologico STANDARD da seguire.. nel senso per questa funzione ok ma per le altre?
forse ho capitoa nche come calcolare il valore di convergenza...

[vmar93]

devi prima di cosa vederti l intervallo di interesse.. prendi per esempio la funzione $e^x$ definita in, che ne so, $[0,1]$.
Avrai una cosa del genere:

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[Folgore]

Atipico, in privato trovi la soluzione all'esercizio che hai chiesto.
Si trova tutto.
Ciao.

[atipico]

@Folgore
ho letto la risoluzione che tu mi hai inviato è perfetta ed anch'io ho risolto come, te dunque posso dire che qualcosina l'ho afferrata ora ... anche se in casi come |x| non viene fatto il prolungamento e non so bene spiegare il perchè.. ma credo si tratti di mettere apunto giusto un paio di cosine...
comunque ora sto avendo difficoltà con la convergenza quando si trattra di serie di soli seni o soli coseni
dal tuo messaggio ho potuto capire che è necessario e buona norma ricorrere al disegno grafico per avere un'idea su come procedere...
però ci sono esercizi come quello di pag.189 n.1 dove non riesco proprio a capire perchè la convergenza tra {-1,1} sia 5/2
tu hai un'idea anche a riguardo di queste convergenze in casi di soli seni o coseni?
Grazzie ancora

[Folgore]

@Folgore
ho letto la risoluzione che tu mi hai inviato è perfetta ed anch'io ho risolto come, te dunque posso dire che qualcosina l'ho afferrata ora ... anche se in casi come |x| non viene fatto il prolungamento e non so bene spiegare il perchè.. ma credo si tratti di mettere apunto giusto un paio di cosine...
comunque ora sto avendo difficoltà con la convergenza quando si trattra di serie di soli seni o soli coseni
dal tuo messaggio ho potuto capire che è necessario e buona norma ricorrere al disegno grafico per avere un'idea su come procedere...
però ci sono esercizi come quello di pag.189 n.1 dove non riesco proprio a capire perchè la convergenza tra {-1,1} sia 5/2
tu hai un'idea anche a riguardo di queste convergenze in casi di soli seni o coseni?
Grazzie ancora

Alora, ti spiego io tutto:

a) il valore assoluto non lo puoi rendere dispari, a meno che non lo prendi in particolari intervalli (casi appunto particolari, che qui non ti cito). E sai perché? Il valore assoluto è una funzione pari. Se, quindi, lo prendi così com'è, non puoi fare proprio niente se non lo sviluppo pari o lo sviluppo normale che poi si ridurrà di conseguenza, per com'è fatta la funzione, allo sviluppo pari.

per lo studio della convergenza, puoi capire tutto solo se fai un grafico della forma d'onda che ti viene data e del suo prolungamento e/o periodicità.
Nello specifico, se hai uno sviluppo in serie di Fourier normale, allora hai già un periodo (è l'intervallo in cui ti viene data la funzione) ed è in quel periodo che devi discutere la convergenza. Negli intervalli dove la funzione è continua, la serie di Fourier converge proprio alla funzione. Altrimenti, se c'è un salto, devi vedere il valore che la funzione assume a destra (chiamiamolo f+) e a sinistra del salto (chiamiamolo f-). In quel caso, la serie di Fourier converge alla somma ((f+) + (f-))/2.
Quando tieni il prolungamento da fare, è più complicato studiare la convergenza perché devi fare il disegno della forma d'onda che ti viene data e del suo prolungamento (pari o dispari che sia). Quello sarà il periodo e su quel periodo tu vai a studiare la convergenza. Ti dovrebbe essere più chiaro ora vedendo l'esempio che ti ho fatto io stamattina, dove appunto ho fatto il grafico per poter vedere la convergenza.

c) per l'esercizio pag. 189 n° 1, è come ti ho detto prima. Cioè, per esempio, in x = 1 c'è un salto. A sinistra di 1 c'è un valore. A destra di 1 c'è un altro valore. Quello che devi fare è sommare questi due valori e dividere per 2. Di qui esce quel risultato (che ho controllato essere esatto) e che è pari a 5/2.

Ciao, e buono studio.

[atipico]

@Folgore
i punti a) e sono chiarissimi ed hai fatto bene a rinfrescarmi la memoria nonostante ne avessimo gia discusso quindi
per quanto riguarda il punto c) invece No
cioè io mi trovo che converge a $ [f(-4)+f(4)]/2=0 $
che cosa sto sbagliando?

[Folgore]

@Folgore
i punti a) e sono chiarissimi ed hai fatto bene a rinfrescarmi la memoria nonostante ne avessimo gia discusso quindi
per quanto riguarda il punto c) invece No
cioè io mi trovo che converge a $ [f(-4)+f(4)]/2=0 $
che cosa sto sbagliando?

Ecco a te la risposta al dubbio che avevi.
Spero che ora ti sia chiaro....
Ciao.

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[gallo92]

salve ragazzi, mi è capitato un esercizio in cui chiedeva di determinare la serie di fourier di soli seni di una funzione definita nell'intervallo ]4,6].
in questo caso che l'intervallo non parte da 0 come ci si comporta? bisogna prolungare la funzione costruendo una funzione dispari in [-6,-4[? e cosa succede tra [-4, 4]?

spero di essere stato chiaro, in ogni caso l'esercizio è la prova d'esame dell'11/01/2010

[atipico]

@Folgore adesso è tutto molto più chiaro grazie, vorrei approfittare per chiedei un ulterio osserazione che non capisco: perchè nella soluzione del libro invece di considerare anche l'intero intervallo {-4,4} viene considerato soltanto {-1,1} è una questione di "stile" del libro o c'è un motivo di cui io non sono a conoscenza?

@gallo92
io credo che nell'intervallo[-4,4] semplicemente la funzione non esista dato che per effettuare il prolungamento devi considerare una simmetria rispetto all'asse.