Corsi di Laurea

[atipico]

sugli integrali ho ancora alcuni dubbi che vorrei vedere con voi,
in particolare:

(pag.45)considerando:
$ int_{gamma}e^(2piz)*dz $
perchè nonostante sia olomorfa la funzione f(z) l'integrale non è nullo, ma =$ -1/pi $ ?

(pag.46)considerando:
$ int_{gamma}Re(z)*dz $
$ gamma $: segmento che unisce i punti $ 1 $ e $ 2+i $
come si imposta la risoluzione?

considerando che il verso di percorrenza delle curve è antiorario:
vorrei sapere perchè svolgendo i calcoli dei vari esercizi di (pag.46), nonostante mi esca lo stesso valore, il segno del risultato invece si trova sempre opposto?

Vorrei sapere se i due procedimenti son completamente uquivalenti:

$ int_{gamma}zdz=int_{a}^{b}(x+iy)*d(x+iy)dt=int_{a}^{b}xdx+ydy+i(xdy+ydx)dt $

$ int_{gamma}zdt=[1/2z^2]_{a}^{b} $

[micheluccio92]

atipico... il primo integrale non deve essere obbligatorio zero... per un fatto legittimo... non è un circuito chiuso che applichi cauchy...

[micheluccio92]

rivediti il teo 44 di pag 34... e leggi le ipotesi topologiche... e su come è la f... per il secondo integrale che hai messo.. sarebbe l'integrale di x in dz... e parametrizzi il segmento... ma mi pare che dei contributi si elidono...

[micheluccio92]

la convenzione antioraria è solita dei percorsi chiusi... poligonali ellissi circonferenze... per i segmenti devi diciamo iniziare dall'ascissa più piccola verso quella più grande...

[atipico]

@micheluccio
il perchè mi trovi sempre il valore di segno opposto rispetto al risultato non l'ho capito. Il resto si.
Potresti essere più chiaro?

[Folgore]

sugli integrali ho ancora alcuni dubbi che vorrei vedere con voi,
in particolare:

(pag.45)considerando:
$ int_{gamma}e^(2piz)*dz $
perchè nonostante sia olomorfa la funzione f(z) l'integrale non è nullo, ma =$ -1/pi $ ?

(pag.46)considerando:
$ int_{gamma}Re(z)*dz $
$ gamma $: segmento che unisce i punti $ 1 $ e $ 2+i $
come si imposta la risoluzione?

considerando che il verso di percorrenza delle curve è antiorario:
vorrei sapere perchè svolgendo i calcoli dei vari esercizi di (pag.46), nonostante mi esca lo stesso valore, il segno del risultato invece si trova sempre opposto?

Vorrei sapere se i due procedimenti son completamente uquivalenti:

$ int_{gamma}zdz=int_{a}^{b}(x+iy)*d(x+iy)dt=int_{a}^{b}xdx+ydy+i(xdy+ydx)dt $

$ int_{gamma}zdt=[1/2z^2]_{a}^{b} $

Allora, per il primo integrale, la funzione è olomorfa ma il percorso lungo il quale calcolare l'integrale non è chiuso. Quindi, non è detto che l'integrale esca obbligatoriamente zero. Pur tuttavia, in perfetta analogia con la teoria delle forme differenziali esatte, si può calcolare la primitiva della funzione integranda e determinare l'integrale come primitiva nel punto di arrivo meno primitiva nel punto di andata.....
Il secondo integrale che chiedi è più particolare perché la parte reale di un numero complesso non è una funzione olomorfa. L'unico modo decente per risolvere la questione è porre, come al solito, $z=x+iy$, e riscrivere l'integrale come somma di due integrali in $dx$ e $dy$. Gli estremi di tali integrali sono dati analizzando i punti lungo i quali ti devi muovere....ovviamente, qui ti do solo i cenni. Se posti i conti, ti posso dire se sono corretti o meno.
Infine, per l'equivalenza dei procedimenti, hai ragione. E tale equivalenza vale perché la funzione integranda è olomorfa.
Ciao, atipico.....

[micheluccio92]

il segmento si parametrizza con t che va da un estremo inf a un estremo sup... questo come vedi è facile perchè è sull'asse immaginario... poi ti faccio vedere un'altra cosa dopo...

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[micheluccio92]

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[micheluccio92]

folgore pure è stato chiaro..

[atipico]

Infine, per l'equivalenza dei procedimenti, hai ragione. E tale equivalenza vale perché la funzione integranda è olomorfa

@Folgore
Nel caso in cui appunto non fosse stata olomorfa che differenza ci sarebbe stata?

@micheluccio
si, ho capito che in base al verso associato al segmento si da il verso dell'integrale, però continuo a non ritrovarmi, nel senso che:
se applico tale ragionamento a questo integrale: $ int_{gamma}e^(-7z)dz $ da $ (1,-2pi) $ a $ (3,4pi) $ continuo a trovarmi un valore negativo, anzichè positivo come il risult. del libro.

[micheluccio92]

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[atipico]

@micheluccio
il punto è questo: la traccia dice che il segmento va da $ A(1-2pii) $ a $ B(3+4pi) $, tu invece hai integrato da $ B $ ad $ A $ per questo ti trovi con il risult. libro, e non capisco perchè?

[atipico]

@micheluccio
ho capito, mi sono confuso io.

[micheluccio92]

perchè il th fond calcolo integrale si fa sempre dal punto finale al punto iniziale...

[atipico]

Vorrei sapere se i due procedimenti son completamente uquivalenti:

$ int_{gamma}zdz=int_{a}^{b}(x+iy)*d(x+iy)dt=int_{a}^{b}xdx+ydy+i(xdy+ydx)dt $

$ int_{gamma}zdt=[1/2z^2]_{a}^{b} $

Infine, per l'equivalenza dei procedimenti, hai ragione. E tale equivalenza vale perché la funzione integranda è olomorfa.
Ciao, atipico.....

@Folgore
Nel caso in cui appunto non fosse stata olomorfa la funzione che differenza ci sarebbe stata?

poi appunto vorrei sapere se ho:

$ int_{C}z^2e^(-z)dz $

$ C:{(x=(t-sint)/2,),(y=(1-cost)/2,):} $ $ 0<=t<=2pi $

l'integrale devo prima trasformarlo in (x+iy) oppure posso risolverlo sempre in z epoi trasformare in (x+iy)?
i valori $ 0 $ e $ 2pi $ vanno sostituiti solo nelle parametriche vero? in z neanche a parlarne giusto?

[Folgore]

Vorrei sapere se i due procedimenti son completamente uquivalenti:

$ int_{gamma}zdz=int_{a}^{b}(x+iy)*d(x+iy)dt=int_{a}^{b}xdx+ydy+i(xdy+ydx)dt $

$ int_{gamma}zdt=[1/2z^2]_{a}^{b} $

Infine, per l'equivalenza dei procedimenti, hai ragione. E tale equivalenza vale perché la funzione integranda è olomorfa.
Ciao, atipico.....

@Folgore
Nel caso in cui appunto non fosse stata olomorfa la funzione che differenza ci sarebbe stata?

poi appunto vorrei sapere se ho:

$ int_{C}z^2e^(-z)dz $

$ C:{(x=(t-sint)/2,),(y=(1-cost)/2,):} $ $ 0<=t<=2pi $

l'integrale devo prima trasformarlo in (x+iy) oppure posso risolverlo sempre in z epoi trasformare in (x+iy)?
i valori $ 0 $ e $ 2pi $ vanno sostituiti solo nelle parametriche vero? in z neanche a parlarne giusto?

Se la funzione non è olomorfa, è valido solo il primo procedimento, cioè $z=x+i y$, ecc....segnalo anche che, in tal caso, la primitiva non esiste.....se non localmente. E' un po' come la teoria delle forme differenziali esatte.

Per il secondo integrale che posti, osserva preliminarmente che la funzione risulta olomorfa all'interno della curva. Osserva che tale curva è chiusa. E' difficile stabilirlo in maniera immediata perché la forma parametrica non è di quelle standard. Tuttavia, te ne accorgi semplicemente perché, sostituendo prima t = 0 e poi t = 2pi all'interno della forma parametrica, ottieni le stesse coordinate x e y. Di conseguenza, la curva è chiusa.
L'integrale è zero perché abbiamo a che fare con una funzione olomorfa all'interno di una curva chiusa....
E quindi risolvi tutti i tuoi problemi.
Ciao.

[micheluccio92]

il capitolo dell'analisi complessa è più teorico che pratico secondo me..

[atipico]

Per il secondo integrale che posti, osserva preliminarmente che la funzione risulta olomorfa all'interno della curva

@Folgore con "osserva" intendi "applica le condizioni di Cauchy-Rieman" giusto? ( dscorso gia affrontato eppure sul libro della manzo danno sempre tutto per scontato)

@micheluccio
io sto affrontando ancora la parte complessa, per il resto cosa intendi?

[micheluccio92]

aitpico... se prendi il capitolo sulle serie di fourier vado al manicomio solo per i calcoli... stamattina a mente riposata ne ho azzeccati alcuni ma chissà come...

[Folgore]

Per il secondo integrale che posti, osserva preliminarmente che la funzione risulta olomorfa all'interno della curva

@Folgore con "osserva" intendi "applica le condizioni di Cauchy-Rieman" giusto? ( dscorso gia affrontato eppure sul libro della manzo danno sempre tutto per scontato)

@micheluccio
io sto affrontando ancora la parte complessa, per il resto cosa intendi?

"Osserva che la curva è chiusa". Questo ho detto io....e lo è perché gli estremi della curva richiesti, per $t = 0$ e $t = 2pi$, sono coincidenti. La funzione integranda è olomorfa sicuramente. Lo puoi dimostrare o con Cauchy Riemann oppure semplicemente osservando che "non esistono denominatori".....E' come per le funzioni continue in campo reale. E' un discorso analogo a quello che ti ho fatto in un altro post che ho scritto proprio pochi minuti fa.