Corsi di Laurea

[Chaos88]

Ecco a voi le tre prove con soluzioni mie! Grazie Andrea per la copertina

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[L{u}ky]

grazie mille

stavo cercando sta roba da un casino, grazie ancora

[GiX]

Nella 6 del 28 settembre, lambda è 10 e X=0.9

visto che dovremmo usare una distribuzione di Poisson,

come si fa il fattoriale di 0.9 Oo???


EDIT: mmm, suppongo di aver interpretato male.

[tanux]

venerdi cerkero di fotografare la prova che ci daranno cosi la pubbikerò su r0x.
PS:grazie chaos!!!!!!!

[GiX]

Posto il mio ragionamento per la 12 del 22/06/2006, ditemi se è giusto e se c'è qualche scorciatoia per favore

12) Sia una v. a. con pdf $1/(2*sqrt{π})*e^-[(x/2)^2-(x-1)]$. $E[X^2]$ è pari a:

a) 2
6
c) 3
d) 8


ragionamento:

Sappiamo dalle dispense del prof, paragrafo "varianza di una V.A" che
$VAR(X) = E[X^2] - E[X]^2$ , quindi $E[X^2] = E[X]^2 + VAR(X)$

detto ciò, sappiamo che il modello di probabilità normale è strutturato in questo modo:

$f(x) = 1/(sqrt{2*π}*σ)*e^[-1/2*((x-μ)/σ)^2]$

di cui sappiamo per certo che $μ$ e $x$ sono comprese tra - e + infinito e $σ$ è maggiore di 0.

la funzione del nostro esercizio somiglia molto al modello, ed è riconducibile in questa forma con varie operazioni.

Innanzitutto $1/(2*sqrt{π})$ è uguale a $1/(sqrt{2*π}*sqrt{2})$

quindi $σ=sqrt{2}$

riduciamo ora $-[(x/2)^2-(x-1)]$ (la parte della funzione in cima all'esponente di e) in forma $[-1/2⋅((x-μ)/σ)^2]$

$-[(x/2)^2-(x-1)] = -[(x^2/4)-(x-1)] = -[x^2/4+1-x] = -1/2[x^2/2+2*(1-x)] = -1/2[(x^2/2-2x+2)] =$
posto $σ^2=2$ allora
$-1/2[(x^2/2-2x+2)] = -1/2[((x^2-4x+4)/σ^2)] = -1/2[((x-2)^2/σ^2)] = [-1/2⋅((x-μ)/σ)^2]$ con $σ=sqrt{2}$ e $μ=2$

sostituiamo quindi in $E[X^2] = E[X]^2 + VAR(X)$ (ricordandoci sempre che $VAR(X)=σ^2$) e otteniamo:

$E[X^2] = 2^2 + sqrt{2}^2=4+2=6$

[Chaos88]

Si anche io mi trovo 6

[psike88]

grazie per le prove.

[GiX]

Chaos, non mi trovo con il tuo 19, posto il procedimento, dimmi che ne pensi e se ho sbagliato:


50 persone vengono intervistate per esprimere un voto da 1 a 10 su di un nuovo prodotto alimentare. Il prodotto ottiene questa "pagella": 4) 3 persone 5) 10 persone 6) 17 persone 7) 10 persone 8) 5 persone 9) 3 persone 10) 2 persone.
Stimare la media $μ$ e la varianza $σ^2$ della distribuzione delle votazioni.

a) $μ = 6.42$; $σ^2 = 2.04$
$μ = 6.42$; $σ^2 = 2.08$
c) $μ = 6$; $σ^2 = 1.02$
d) $μ = 6$; $σ^2 = 1.04$

poniamo la v. a. X che varia tra 4 e 10

il rapporto tra le persone che hanno votato e il totale di votanti fornisce una percentuale, che personalmente ho trattato come una vera e propria probabilità.

pertanto

$X$1$=4$ con probabilità $3/50$
$X$2$=5$ con probabilità $10/50$
$X$3$=6$ con probabilità $17/50$
$X$4$=7$ con probabilità $10/50$
$X$5$=8$ con probabilità $5/50$
$X$6$=9$ con probabilità $3/50$
$X$7$=10$ con probabilità $2/50$

la media di questa funzione di distribuzione è data da

$E(X) = sum{X$i$*p(X$i$)}$ con i che va da 1 a 7, pertanto

$4*3/50 + 5*10/50 + 6*17/50 + 7*10/50 + 8*5/50 + 9*3/50 + 10*2/50 = (12 + 50 + 102 + 70 + 40 + 27 +20)/50 = 321/50 = 6,42$

per la varianza ho deciso di usare la formula $VAR(X) = E(X^2) - E(X)^2$ e il risultato è questo:

$E(X^2) = sum{X^2$i$*p(X$i$)}$ con i che va da 1 a 7, quindi

$16*3/50 + 25*10/50 + 36*17/50 + 49*10/50 + 64*5/50 + 81*3/50 + 100*2/50 = (48 + 250 + 612 + 490 + 320 + 243 + 200)/50 = 2163/50 = 43,26$

Sostituiamo in $VAR(X) = E(X^2) - E(X)^2$ e ottieniamo:

$VAR(X) = 43,26 - (6,42)^2 = 43,26 - 41,2164$

apriamo una parentesi, secondo le norme che studiai in fisica ai tempi del liceo, per limitare l'errore le cifre significative di questa addizione si limitano alle prime due dopo la virgola, quindi dovrei avere

$43,26 - 41,22 = 2,04$

[Chaos88]

Sulla media non ho nulla da eccepire, per quanto riguarda il valore di $ sigma $

L'ho calcolato così:

$ sigma^2 = sum_{i=1}^{n}((x_i - bar(x))^2)/(n-1)

La varianza è definita come la sommatoria e poi fratto n, ma quando si fa riferimento ad un campione si preferisce utilizzare la formula qui sopra postata. Eseguendo i calcoli che però vi (e mi) risparmio mi trovo $ sigma^2 = 2.08 $

Prova ad applicare la formula e dimmi un pò come ti trovi. Dalle dispense del prof, la formula puoi prenderla dove parla di varianza e deviazione standard, subito dopo l'introduzione degli indici di dispersione.

[GiX]

Se tu ti trovi, io sto sbagliando qualcosa...

da quel che ho capito,

$σ^2 = sum_{i=1}^{n}(X i - barX)^2/ (n-1)$

dove $barX$ è la media aritmetica, che nel nostro caso è

$(4+5+6+7+8+9+10)/7=49/7=7$

svolgo la sommatoria e ottengo

$((4-7)^2+(5-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(10-7)^2+(10-7)^2)/6=
$=((-3)^2+(-2)^2+(-1)^2+0+1^2+2^2+3^2)/6 = (9+4+1+1+4+9)/6 = 28/6 = 4,bar6$


dove sto sgarrando? Non voglio farti perder tempo, ma ormai l'ingrippo m'è venuto Oo (e per giunta i risultati non dovrebbero comunque coincidere?)

[Chaos88]

La media la sbagli

Devi fare $ (sum_{i=1}^{k} n*n_k ) /N $

Praticamente $n$ indica il numero di persone che esprime un voto, cioè 3 persone esprimono il voto 4, 3 rappresenta la $n$.
$n_k$ è il valore che la persona esprime.
$N$ è il numero totale di persone.

Spero di essermi spiegato

Edit che poi rileggendo! La media si considera quella che hai calcolato prima ovvero 6.42 se la fai con quella si trova

[GiX]

Se ti dico che già ci ho provato prima e mi esce $5,06$ ?

Non so più dove sbattere la testa... Vado a cena, poi magari ti posto il calcolo anche per questo caso.

[Chaos88]

Ti posto i calcoli:

$3*((4-6.42)^2)/49 +10*((5-6.42)^2)/49 +17*((6-6.42)^2)/49 +10*((7-6.42)^2)/49 +5*((8-6.42)^2)/49 +3*((9-6.42)^2)/49 +2*((10-6.42)^2)/49 =
$= 3*0.1195+10*0.0411+17*0.0036+10*0.00686+5*0.0509+3*0.1358+2*0.2615 = $
$=0.358+0.411+0.0612+0.068+0.2545+0.4074+0.523=2.0831$



Faticaccia

[GiX]

Ora ho capito, tu non hai usato

$σ^2=sum_{i=1}^{n} (X i - barX}^2/(n-1)


ma

$S^2= (sum_{i=1}^{k} f i*(X i-barX)^2)/(n-1)


Detto questo, a parte che $S^2$ dovrebbe essere deviazione standard e $barX$ dovrebbe essere media aritmetica (diversa dal valore atteso), mi trovo perfettamente. Il vero problema è che queste dispense non spiegano univocamente quale usare e in che caso usarle. I risultati delle due dovrebbero essere identici se il loro significato è identico.

[Chaos88]

Si hai ragione, diciamo che bisogna interpretrare non poco

[caputo88]

Riesumo questo topic dopo molto tempo, dato che era inutile crearne un altro apposta. Spero in una risposta ehehe .

Allora, io non riesco a capire come calcolare il risultato dell'esercizio 2 di questi compiti. Quello delle combinazioni sugli amici dove ce ne sono tot. che non vanno daccordo. Me lo sono fatto e rifatto ma proprio non mi trovo con i risultati di chaos88.

C'è qualcuno disposto a chiarirmi le idee???? grazie.

[Chaos88]

Ciao, scrivi tu quanto ti trovi, può darsi ci siano errori nelle soluzioni

[caputo88]

ciao chaos ^^. Guarda, io sinceramente non riesco a capire proprio come arrivarci.
Mi è chiaro che sono per forza delle combinazioni di 9 elementi su 6 posti. Ma la condizione particolare che ci sono 2 amici "ca nun s'pozzn vrè :D" non capisco come trattarla.
Forse la si può ricondurla alla situazione in cui si hanno combinazioni di k1 elementi di un tipo e k2 elementi di un altro tipo, ma non ne sono per niente sicuro.

[Chaos88]

Beh adesso non ricordo come ho ragionato... è passato un pò di tempo

Comunque tu devi considerare fissato un ragazzo e ruotare gli altri 8-1 ovvero 7, perchè se due non vanno d'accordo, ognuno di loro può accordarsi con altri sette

[caputo88]

mmmm... allora ragionandoci un po ho fatto cosi: considerando che un amico è fissato e che quest'ultimo non può stare nello stesso gruppo con l'amico antipatico, per calcolare il numero di modi per invitare gli amici verrebbe la combinazione di 7 amici su 5 posti e cioè 21.

A ciò va però aggiunto il numero di gruppi che si possono creare considerando che uno dei due amici "antipatici" non venga invitato, e quindi viene la combinazione di 8 amici su 6 posti, che è pari a 28.

Da ciò ottengo : 21 + 28 = 49.

Giusto Chaos????