Corsi di Laurea

[momo90]

qualcuno potrebbe aiutarmi con lo svolgimento del punto a) ?

[caputo88]

Allora, mi baso sui ricordi della materia quindi posso sbagliarmi, ma il ragionamento dovrebbe essere questo:

Il canale è AWGN, la densità spettrale di potenza è nota e pari ad $N_0/2$. Quindi probabilità d'errore minima significa che devi ragionare sulla distanza esistente tra il segnale ricevuto ed i due punti di segnale. In particolare:

Tu hai una segnalazione bidimensionale. Ciò significa che devi rappresentare i punti di segnale in un normale sistema di assi cartesiani. Tali punti si troveranno, rispettivamente, uno sull'asse delle ascisse ed uno sull'asse delle ordinate. Ora, per calcolare la probabilità sulla base della distanza devi determinare la lunghezza del segmento che congiunge questi punti. Attraverso il teorema di Pitagora ti trovi che tale lunghezza è pari a $alpha*sqrt(2*epsilon)$. Ora il punto medio di questo segmento è il punto che delimita le due regioni di decisione. Sulla base di questo ragionamento ti vai quindi a calcolare la probabilità di errore e controlli se ti trovi con la probabilità di errore caratteristica della segnalazione ortogonale equienergetica.

Sinceramente i calcoli di probabilità con gli integrali che portano alla definizione della Q-function non me li ricordo. Il ragionamento di base dovrebbe essere questo. Ti allego l'immagine delle regioni di decisione.

Spero di essere stato chiaro. Fammi sapere se ti trovi.

[momo90]

allora, a questo ragionamento ci ero arrivato anche io e mi trovo con te. il problema era proprio nella definizione formale delle due regioni. del tipo:
$ R_1= $ { r: ... }
$ R_2= $ { r: ... }

non riesco a definirla

[RomAle87]

ciao la mia regola di decisone è: r1>alfa r2 (per s1) e r1 scusa per come ho scritto!!!

[caputo88]

allora, a questo ragionamento ci ero arrivato anche io e mi trovo con te. il problema era proprio nella definizione formale delle due regioni. del tipo:
$ R_1= $ { r: ... }
$ R_2= $ { r: ... }

non riesco a definirla

Guarda io credo che, dato che ragioniamo in due dimensioni, l'appartanenza alla regione di decisione la definisci attraverso le componenti $r_1$ ed $r_2$ del vettore $r=(r_1,r_2)$. Tuttavia l'intervallo di definizione di $r_2$, ora come ora, non saprei come definirlo.

Vorrei inoltre aggiungere che, seppure riuscissimo a definire tale intervallo, per calcolare la probabilità di errore ti verrebbe un integrale doppio, a meno di eventuali semplificazioni.

Dammi 10 minuti, vedo se trovo qualcosa negli appunti a lezione

[SuperFra]

a.
$ d_(1,2)=sqrt(alfa^2*epsilon+epsilon) $
il coefficiente angolare della retta passante per s1 e s2 è $ m=-alfa $ quindi il coefficiente angolare della retta che suddivide le regioni di decisione sarà perpendicolare e quindi avrà il coefficiente angolare opposto $ m=alfa $
così si ha l'equazione del fascio di rette parallele alla bisettrice del primo e terzo quadrante : $ y=alfa*x $ (ovviamente la presenza di un eventuale sfasamento è da escludere in quanto se ci fosse nel caso di alfa=1 non si avrebbe la bisettrice del primo e terzo quadrante)
infatti nel caso di alfa=1 si ci riconduce alla bisettrice e quindi al ppm binario equienergetico

b.
$ P_alfa(e)=(P(e|s1)+P(e|s2))/2 $
$ P(e|s1)=P(e|s2)=P(r*s2>r*s1|s1) $
svolgendo qualche calcolo si ha :
$ P(alfa*w_2>sqrt(epsilon)+w_1)=P(alfa*N(0,N_0)>sqrt(epsilon))=Q(sqrt(epsilon/(alfa^2*N_0))) $
che è poi anche la prob. d'errore totale in funzione di alfa

c.
$ epsilon_(av)=1/2*(alfa^2*epsilon^2+epsilon^2) $

d.e.
ovviamente l'energia minima si avrà per alfa=0 dove si ci riconduce ad un PAM traslato e quindi in teoria non ci sarebbe più bisogno della seconda dimensione e quindi si potrebbe avere un filtro in meno
per minimizzare la P(e) approssimando la q-function per un elevato rapporto SNR si verifica che alfa dovrà tendere a 0 cosicchè anche la P(e) tenderà a 0.

[caputo88]

a.
$ d_(1,2)=sqrt(alfa^2*epsilon+epsilon) $
il coefficiente angolare della retta passante per s1 e s2 è $ m=-alfa $ quindi il coefficiente angolare della retta che suddivide le regioni di decisione sarà perpendicolare e quindi avrà il coefficiente angolare opposto $ m=alfa $
così si ha l'equazione del fascio di rette parallele alla bisettrice del primo e terzo quadrante : $ y=alfa*x $ (ovviamente la presenza di un eventuale sfasamento è da escludere in quanto se ci fosse nel caso di alfa=1 non si avrebbe la bisettrice del primo e terzo quadrante)
infatti nel caso di alfa=1 si ci riconduce alla bisettrice e quindi al ppm binario equienergetico

b.
$ P_alfa(e)=(P(e|s1)+P(e|s2))/2 $
$ P(e|s1)=P(e|s2)=P(r*s2>r*s1|s1) $
svolgendo qualche calcolo si ha :
$ P(alfa*w_2>sqrt(epsilon)+w_1)=P(alfa*N(0,N_0)>sqrt(epsilon))=Q(sqrt(epsilon/(alfa^2*N_0))) $
che è poi anche la prob. d'errore totale in funzione di alfa

c.
$ epsilon_(av)=1/2*(alfa*sqrt(epsilon)+sqrt(epsilon))=sqrt(epsilon/2*(alfa+1)) $

d.e.
per alfa=0 si ci riconduce ad un PAM traslato e quindi in teoria non ci sarebbe più bisogno della seconda dimensione e quindi si potrebbe avere un filtro in meno
per minimizzare la P(e) approssimando la q-function per un elevato rapporto SNR si verifica che alfa dovrà tendere a 0 cosicchè anche la P(e) tenderà a 0.

Efficientissimo!

[SuperFra]

Efficientissimo!

grazie, cmq ho modificato e scritto un po di cose che avevo omesso o che avevo sbagliato con il math

[SuperFra]

ho notato che questo è il quinto esercizio...sarebbe possibile avere anche gli altri ??? THX 1000

[momo90]

ok grazie a tutti per l'aiuto
P.S. gli altri esercizi non li ho più, sorry

[dreamer]

scusate ragazzi
ma non dovrebbe essere cosi

perche la varianza è N0 (1+a^2)/2 (per l indipendenza la colcoli come somma delle varienze) di conseguenza la P(e) è è sbagliata

inoltre per l enrgia media avete sommato le componenti dei vettori, ed è sbaliato perche l enrgia del singolo segnale è la sommatoria del quadrato delle singole componenti....di conseguenza l energia media verrebbe (1+a^2)epsilon/2

fatemi sapere se ho sbagliato...... ciao ciao

[SuperFra]

allora...rivedendo l'esercizio, mi sono reso conto che il fascio di rette y=alfa*x non rappresenta sempre le rette da noi desiderate in quanto nel caso di alfa=0 si dovrebbe avere la retta $ x=sqrt(epsilon)/2 $ e questo non accade.
A fronte di questo la prob. d'errore è evidentemente errata. Continuo dicendo che però non sono riuscito a trovare una retta che soddisfacesse tali specifiche in quanto essa dovrà non solo variare la propria pendenza rispetto ad alfa, ma dovrà anche spostarsi sull'asse x fino ad un massimo di $ sqrt(epsilon)/2 $ nel caso di alfa=0

ps.ho messo a posto anche l'energia media (avevo dimenticato di elevare al quadrato XD)

[d-Enzo]

Allora, essendo non equienergetica non puoi usare il criterio max correlazione, ma il MAP si. Devi definire le regioni di decisione per via analitica: hai sta 2PPM e quindi il rumore in ricezione a valle dei filtri si troverà in entrambe le dimensioni, quindi in ricezione avremo un vettore bidimensionale ($r_1,r_2$) che in base al segnale trasmesso sarà uguale a $(n_1+sqrt(epsilon), n_2) -> s_1$ e $(n_1, n_2+alpha sqrt(epsilon)) -> s_2$. Le PDF condizionali sono quindi:

$f(r|s_1)=1/sqrt(pi N_0) e^(-((r_1-sqrt(epsilon))^2+(r_2)^2)/N_0)$
$f(r|s_2)=1/sqrt(pi N_0) e^(-((r_1)^2+(r_2-alpha sqrt(epsilon))^2)/N_0)$

La segnalazione è equiprobabile, quindi le regioni di decisione sono definite solo dal rapporto $f(r,s_1)/(f(r,s_2))$, che se è > 1 il segnale scelto sarà $s_1$, se < 1 $s_2$.
Definendo 1 =$e^0$ puoi calcolare la disequazione dall'argomento della e. Facendo due conti dovresti trovarti (rifatti i conti, magari ho sbagliato qualche segno):
$r_1-alpha r_2 >/< (epsilon-alpha^2 epsilon)/(2 sqrt(epsilon))$
ovviamente maggiore se si sceglie $s_1$, minore se $s_2$.

Queste sono le regioni di decisione. banalmente per $alpha$ = 1 escono le regioni solite per il 2PPM equienergetico

[SuperFra]

ok ora provo ad intraprendere questa strada, vorrei solo precisare che l'ML è utilizzabile in quanto i segnali sono equiprobabili; poi essendo gaussiani(grazie al rumore) è utilizzabile il criterio a minima distanza euclidea; ovviamente non essendo equienergetici non è utilizzabile il criterio a massima correlazione.
oltretutto viene proprio richiesto di esprimere le regioni di decisioni essendo appunto utilizzabile un criterio a minima distanza euclidea.

ps.potresti spiegarmi cmq come fai a definire le due pdf condizionate?...in particolare non capisco da dove scaturisca il numeratore della frazione all'esponente.

pps.poi le regioni, facendo i conti si trovano con quelle che hai espresso tu partendo da quelle gaussiane

[d-Enzo]

Si, hai ragione tu sopra, ho fatto confusione tra ML e max correlazione , ho correggiuto!
Per le PDF, banalmente prendi la PDF della gaussiana, e imponi $mu =0$ e $sigma^2 = N_0/2$ e sostiusci al valore di realizzazione il segnale ricevuto.

[SuperFra]

scusa ma continuo a non capire come sostituire al valore di realizzazione il segnale ricevuto...

ps. tra l'altro proseguendo col calcolo della P(e) arrivo ad un certo punto dove tengo :

$ P(alpha*w_2-w_1>((alpha^2*epsilon-epsilon)/(2*sqrt(epsilon))+sqrt(epsilon))) $

come procedo...so che la differenza di due gaussiane è una gaussiana con stessa media e somma delle varianze, ma come faccio per quell' $ alpha $?

[d-Enzo]

scusa ma continuo a non capire come sostituire al valore di realizzazione il segnale ricevuto...

ti stai intalliando su questo? Scusa cosa è gaussiano qua, il rumore no? Se prendi per esempio il primo segnale abbiamo che la prima componente del segnale ricevuto è $r_1=sqrt(epsilon)+n_1 -> n_1=r_1-sqrt(epsilon)$ e la seconda banalmente $r_2 = n_2$. Se metti come x della gaussiana la norma di $(n_1,n_2)$ ti uscirà quello . Analogamente fai lo stesso per il secondo segnale.

per la probabilità d'errore va integrata la PDF di ogni segnale tra la regione di decisione dell'altro segnale, cercando poi di far "uscire" con qualche inciarmo matematico una Q-function (ricordo che $Q(y)=1/(sqrt(2 pi)) int_y^(oo) e^(-x^2/2) dx$)
Se ho tempo (e voglia) provo a svolgerli.

[SuperFra]

grazie mille ora ho ben compreso