[Traccia FAST 1 27/03/09]

Ragazzi per coloro che hanno fatto oggi l'esame potreste farci l'enorme gentilezza di postarci la traccia ve ne sarei grato...

ecco la traccia di oggi -> http://www.r0x.it/vi...&p=37844#p37844

Ragazzi parliamo qui per tutto quello che riguarda gli esercizi di fast 1...

tnx

quelli di fast1 non mi sembrano impossibili, anzi! Il secondo è un ARMA molto simile ad altri usciti in appelli scorsi

Io credo di aver fatto bene il primo quesito (almeno lo spero) e sul secondo mi sono inceppato con la FT...
Una domanda: ma per le funzioni di autocorrelazione bastava dimostrare solo l'hermitianità e il massimo nell'origine?
Cmq se qualcuno può spiegarmi come si faceva il secondo quesito gliene sarei grato!

devi verificare le regole delle autocorrelazioni su quelle funzioni (massimo valore nell'origine, hermitanietà o parità se puramente reale, limitatezza, etc...)

per il secondo, è un ARMA già affrontato in maniera similare in precedenti appelli (snocciola i topic, sicuro ci sta), al massimo c'è lo svolgimento sul Conte.
Per il quarto punto, le sinusoidi per gli ARMA son autofunzioni

Per il quarto punto, le sinusoidi per gli ARMA son autofunzioni

e quindi? ke gli avrei dovuto scrivere oltre a ke era un'autofunzione?

Io ho fatto così il primo quesito (il secondo è lungo da scrivere e semmai ci provo più tardi ):

1a) $ r_x(tau) = Lambda(tau)-2[Lambda(tau+2)+Lambda(tau-2)] $
Poiché $ r_x(tau) $ è reale
$ r_x^**(-tau)=r_x(-tau) $
Inoltre $ Lambda $ è una funzione pari, ovvero
$ r_x(-tau)=Lambda(-tau)-2[Lambda(-tau-2)+Lambda(-tau+2)]= $
$ =Lambda(-tau)-2[Lambda(-(tau+2))+Lambda(-(tau-2))]= $
$ =Lambda(tau)-2[Lambda(tau+2)+Lambda(tau-2)]=r_x(tau) $
Disegnando il grafico si nota che la funzione ha un massimo in $ tau=0 $.
Quindi $ r_x(tau) $ è un'ammissibile funzione di autocorrelazione.

1b) $ r_x(tau) = cos(4 pi tau) $
Poiché $ r_x(tau) $ è reale
$ r_x^**(-tau)=r_x(-tau) $
Dalle proprietà del coseno si ha che
$ cos(-x) = cos(x) $
Quindi
$ r_x^**(-tau) = r_x(-tau) = cos(-4 pi tau) = cos(4 pi tau) = r_x(tau) $
Quindi $ r_x(tau) $ è un'ammissibile funzione di autocorrelazione.

1c) $ r_x(tau) = Lambda(tau) sin(10 pi tau) $
che è $ sin(10 pi tau) $ "finestrato" da una finestra triangolare tra -1 e 1.
Scrivendo qui mi sono accorto che sul compito ho scritto una cazzata...
Cmq, poiché $ r_x(tau) $ è reale
$ r_x^**(-tau)=r_x(-tau) $
e per le proprietà del seno,
$ sin(-x) = -sin(x) $
Quindi
$ r_x^**(-tau) = r_x(-tau) = sin(-10 pi tau) = -sin(10 pi tau) != r_x(tau) $
Dunque $ r_x(tau) $ NON è un'ammissibile funzione di autocorrelazione.

1d) $ r_x(tau) = F^(-1){sinc(fT)}, T>0 $
Si ha che
$ r_x(tau) = 1/T Pi(tau/T) $
che è una finestra rettangolare di ampiezza $ 1/T $ e durata $ T $ (quindi ha un massimo per $ tau = 0 $ che vale appunto $ 1/T $).
E poiché $ r_x(tau) $ è reale
$ r_x^**(-tau)=r_x(-tau) $
Inoltre $ Pi $ è una funzione pari, ovvero
$ r_x(-tau) = 1/T Pi(-tau/T) = 1/T Pi(tau/T) = r_x(tau) $
Quindi $ r_x(tau) $ è un'ammissibile funzione di autocorrelazione.

Ho fatto bene? Oppure bisognava dimostrare anche altre proprietà???

Il secondo quesito (non è completo e mi sa neppure corretto ):

$ y(n)=1/4 y(n-2) + 1/2 x(n) $

1a) Per il calcolo della risposta impulsiva, applichiamo all'ingresso del sistema un impulso di Dirac e procediamo in modo ricorsivo (come sul Conte a pag. 98):

$ h(0) = 1/4 h(-2) + 1/2 delta(0) = 1/2 $

$ h(1) = 1/4 h(-1) + 1/2 delta(1) = 0 $

$ h(2) = 1/4 h(0) + 1/2 delta(2) = 1/4*1/2 = 1/8 $

$ h(3) = 1/4 h(1) + 1/2 delta(3) = 0 $

$ h(4) = 1/4 h(2) + 1/2 delta(4) = 1/4*1/8 = 1/32 $

$ h(5) = 1/4 h(3) + 1/2 delta(5) = 0 $

$ h(6) = 1/4 h(4) + 1/2 delta(6) = 1/4*1/32 = 1/128 $

$ . . . $

Mentre per $ n<0 $ si ha che $ h(n) = 0 $ data la condizione iniziale (sistema inizialmente a riposo).

Quindi, per n pari

$ h(n) = 1/2*(1/2)^n*u(n) $

e per n dispari

$ h(n) = 0 $

Per risolvere il problema del pari/dispari, mi sono costruito una funzione ad hoc (che credo sia stata la mia rovina per quanto riguarda la FT ):

$ 1/2*[1+cos(pi n)] $

che vale 1 per n pari e 0 per n dispari.
Quindi, in definitiva

$ h(n) = 1/4*(1/2)^n*[1+cos(pi n)]*u(n) $

2b) Il sistema è stabile se
$ h(n) = 0, AA n<0 $
Quindi il sistema è stabile per via del gradino $ u(n) $ ovvero per la condizione iniziale (sistema inizialmente a riposo)

Il sistema è causale se
$ sum_{n=-oo}^{+oo} |h(n)| <= K_h $
Questo si dimostra osservando che:
$ 1/4 $ è costante e quindi limitato
$ (1/2)^n $ converge per $ n -> +oo $
$ 1+cos(pi n) $ varia tra 0 e 2 e quindi è limitata
$ u(n) $ vale 0 per $ n<0 $ e 1 per $ n>=0 $ ed è quindi limitata.

In definitiva il sistema è sia stabile che causale.

Qui mi sono fermato. L'unica altra cosa che ho scritto è la formula della FT, ma nulla di più...
Speriamo bene!

Per il quarto punto, le sinusoidi per gli ARMA son autofunzioni

e quindi? ke gli avrei dovuto scrivere oltre a ke era un'autofunzione?

Putroppo per me (non l'ho fatto sul compito ) avresti (e avrei) dovuto scrivere (cfr. Conte pag. 132):

$ y(n) = h(n) ** x(n) = $

$ = h(n) ** sin((pi n)/4) = $

$ = h(n) ** 1/(2j)*[e^(j(pi n)/4) - e^(-j(pi n)/4)] = $

$ = 1/(2j)*{[e^(j(pi n)/4) ** h(n)] - [e^(-j(pi n)/4) ** h(n)]} = $

$ = 1/(2j)*[H(nu)*e^(j(pi n)/4) - H(nu)*e^(-j(pi n)/4)] = $

$ = H(nu)*sin((pi n)/4) $

la finestra rettangolare non rispetta la norma della continuità, visto che è continua nell'origine ma non in tutta la funzione, quindi non è un'ammissibile autocorrelazione.

$h(n)$ altro non è che un esponenziale espanso

dovrebbe essere uguale a $h(n)=(1/2)^(n+1)u(n/2)$ (trovategli una forma migliore, ma sempre in forma esponenziale, perchè è una delle poche sequenze con trasformata nota)

questo sistema rispetta le proprietà di stabilità e causalità

e dovrebbe essere $H(nu) = 2/(1-(1/2 e^(-j 4 pi nu))$

per quanto riguarda l'esercizio sull'autocorrelazione mi trovo 2 ammissibili e 2 no, per quanto riguarda il sistema arma non me l'ero visto xkè me lo sarei preparato per l'orale, mannaggia la miseria, e quindi la h(n) nn l'ho fatta però ho dedotto ke era causale e stabile, ho calcolato la H(v) e nn ho finito di calcolare l'ultima domanda...però nn ho detto ke era un sistema arma, secondo voi mi fellano...?

come hai fatto a calcolare la risposta in frequenza senza sapere quella impulsiva?

cmq vi ho già ripetuto tempo debito che gli ARMA ciclicamente saltano sempre fuori, son un pallino di Restaino

la finestra rettangolare non rispetta la norma della continuità, visto che è continua nell'origine ma non in tutta la funzione, quindi non è un'ammissibile autocorrelazione.

Sul Conte a pag.65 c'è scritto così:

P5 Continuità: la funzione di autocorrelazione di una forma d'onda è continua se è continua nell'origine.

Quindi la continuità non caratterizza una funzione di autocorrelazione, ma la sua continuità nell'origine ci dice solo che è continua.

Qualcuno conosce aula e ora degli orali di martedì?
Grazie.
Saluti.

bah io ricordo che un'autocorrelazione se continua nell'origine doveva esserlo per tutta la funzione, si vede che ho dimenticato parecchie sfumature allora, e lo trovo anche fisiologico.
Le altre credo siano giuste, la prima funzione è composta da tre triangoli contigui e va bene, il seno (anche se finestato) è dispari e non va bene, il coseno invece va bene

Qualcuno conosce aula e ora degli orali di martedì?
Grazie.
Saluti.

Martedì 31 marzo ore 11:00 Lab.T18

bah io ricordo che un'autocorrelazione se continua nell'origine doveva esserlo per tutta la funzione

E infatti è così! La finestra triangolare non presenta alcun tipo di discontinuità!