Corsi di Laurea

[simply me]

Quell'espressione serve per definire, in base al valore di $ tau $ positivo o negativo, quali estremi di integrazione prendere su R. Penso che il prof abbia voluto generalizzare proprio perchè in base al valore che assume $ tau $, l'integrale avrà un risultato diverso. Spero di essermi spiegata bene

[vmar93]

Si per gli estremi mi trovo. Il problema sorge quando fa scomparire il $tau'$. Mi spiego meglio: svolgendo l'integrale esce $1/4e^(2tau)*e^(-4tau')=1/4e^2(tau-2tau')*$, ovvero $r_x(tau)={(1/4 e^(-2tau),if tau>0),(1/4 e^(2tau),if tau<0):}$ . Come si arriva a quel sistema? Che procedimenti ha fatto il prof?

[Corrado]

Bah io non mi trovo con voi ma mi trovo che il segnale è non periodico e che è un segnale di potenza che vale $ 13/2 $

Scusate ragazzi, tornando al segnale di inizio topic... Mi trovo che non è periodico, ammesso che lo fosse stato avremmo potuto dire direttamente che era di potenza senza calcolare l'energia, vero?
Dato che è non periodico dobbiamo calcolare l'energia, oppure siccome il segnale è somma di due sinusoidi possiamo dire direttamente che ha energia infinita?
Lo chiedo perchè nel calcolare le energie pure, applicando la formula di riduzione della potenza, si presenta il termine costante che integrato e poi sostituito è un $oo$ che va a sommarsi a tutto il resto, quindi lo si potrebbe dire a prescindere...

[simply me]

Si per gli estremi mi trovo. Il problema sorge quando fa scomparire il $tau'$. Mi spiego meglio: svolgendo l'integrale esce $1/4e^(2tau)*e^(-4tau')=1/4e^2(tau-2tau')*$, ovvero $r_x(tau)={(1/4 e^(-2tau),if tau>0),(1/4 e^(2tau),if tau<0):}$ . Come si arriva a quel sistema? Che procedimenti ha fatto il prof?

Ci si arriva semplicemente perchè per $ tau<0 -> tau^'=0 $ mentre per $ tau>0 -> tau^'=tau $

[simply me]

Scusate ragazzi, tornando al segnale di inizio topic... Mi trovo che non è periodico, ammesso che lo fosse stato avremmo potuto dire direttamente che era di potenza senza calcolare l'energia, vero?
Dato che è non periodico dobbiamo calcolare l'energia, oppure siccome il segnale è somma di due sinusoidi possiamo dire direttamente che ha energia infinita?
Lo chiedo perchè nel calcolare le energie pure, applicando la formula di riduzione della potenza, si presenta il termine costante che integrato e poi sostituito è un $oo$ che va a sommarsi a tutto il resto, quindi lo si potrebbe dire a prescindere...

Se il segnale fosse stato periodico io avrei calcolato direttamente la potenza senza perdere tempo nel calcolo dell'energia. Nel caso in cui la potenza risulta finita il problema è risolto. Se anch'essa è infinita può darsi che il segnale non è nè di energia nè di potenza... ma non credo che con due sinusoidi, essendo fasori, ciò accada...
Ora essendo non periodico io andrei comunque diretta al calcolo della potenza perchè, come dici tu, il segnale è comunque costituito da due sinusoidi...

[LeoVa]

Ragazzi a finale l'esercizio l'ho pensato così: il segnale ovviamente non è periodico perché il rapporto fra i periodi non appartiene ai numeri razionali (essendoci $ pi $ per mezzo). Se lo scomponiamo in 4 fasori avremo coppie di fasori con frequenza diversa che hanno potenza mutua nulla (perché la loro funzione di correlazione è nulla, e quindi sono incoerenti, e quindi hanno potenze mutue = 0) . Per questo fatto possiamo fare la somma delle potenze dei singoli fasori, cioè la somma dei quadrati delle ampiezze e alla fine, come dicevi tu simplyme, esce $ 13/2 $

[LeoVa]

la condizione di appartenenza della frazione a Q vale solo nel tempo discreto, e comunque il periodo non si dovrebbe calcolare come il rapporto fra i periodi

Non credo. La condizione di appartenenza a Q vale per la somma di periodi! Sia in TD, che in TC .

[LeoVa]

Si ok, assodato che non è un segnale periodico (ho controllato anche da qui http://www.youmath.i... ... zione.html) , tuttavia non mi convincono le motivazioni che avete dato per dire che non è periodico. Non ho ancora ben compreso il perchè non lo è. Ho capito solo che quando in un argomento vi è il pi greco e nell'altro no, allora il segnale non è periodico.

Una somma fra due segnali (come lo è il nostro x(t) ) è periodica se il rapporto fra i loro periodi appartiene a Q, cioè se è razionale. Il periodo fondamentale poi lo calcoli come T1/T2 = n/m .

Per esempio, T1/T2 = 3/2 (non uso math perché mi da una roba strana)
Quindi $ 2T1 = 3T2 $ ma $ T1 = 3 , T2 =2 $ perciò l'uguaglianza è verificata e viene $ 6 = 6 = T0 $ .

Mi hanno detto che si può fare anche col mcm fra i periodi ma io sapevo che questo vale solo a TD (però forse ho capito male a lezione ), e siccome con questo metodo mi sono sempre trovato uso questo.

[Corrado]

Ragazzi scusate ma io sto provando a calcolare la potenza del primo segnale, $3*cos(3*pi*t)$, e sia procedendo con la formula di riduzione nel risolvere l'integrale, mi viene potenza infinita... E' normale? Cosa sto sbagliando?

[LeoVa]

Non è possibile. Devi considerare la periodicità quindi non lo fai il limite di T->inf e integri solo in un periodo (o in un semiperiodo e poi fai per due).

[Corrado]

E' vero... Grazie...

[Corrado]

Ragazzi mi date una ulteriore conferma? Avete detto che in questo caso la potenza mutua è nulla perché i due coseni hanno diversa frequenza... Questo è sempre vero? Cioè due sinusoidi, che siano seni o coseni, se hanno frequenza diversa sono sempre ortogonali?

[LeoVa]

Non è vero che i coseni a diversa frequenza sono ortogonali. Le sinusoidi sono ortogonali fra loro quando la frequenza dell'una è il multiplo della frequenza dell'altra. In questo caso la potenza mutua è nulla perché i fasori hanno frequenza diversa fra di loro e quindi hanno potenza mutua pari a 0. Sta scritto sopra

[Corrado]

Grazie Apicio, però per quanto riguarda l'ortogonalità dei fasori siamo d'accordo, due fasori sono ortogonali se hanno frequenza diversa, se hanno stessa frequenza invece la loro potenza dovrebbe essere il prodotto delle ampiezze, giusto?

Ora, se due sinusoidi a caso hanno frequenza diversa e, come nel nostro caso anche tale che l'una non sia multipla dell'altra ($3/2$ e $1/pi$), trasformate in fasori danno vita a 4 coppie di fasori a frequenza diversa, che dovrebbero essere ortogonali, giusto?

Se così è non mi trovo quando dici

Non è vero che i coseni a diversa frequenza sono ortogonali. Le sinusoidi sono ortogonali fra loro quando la frequenza dell'una è il multiplo della frequenza dell'altra.

Forse mi sfugge qualche sciocchezza, come per le precedenti domande, sarà la poca lucidità di questi giorni...

[LeoVa]

I fasori sono ortogonali se hanno freq diverse e su questo ci siamo.
Se invece hanno la stessa frequenza la loro potenza è il prodotto delle ampiezze, e ci siamo. Su questo mi trovo anche io.

Ora quelle due sinusoidi daranno vita a due fasori che a coppie hanno frequenze uguali a meno di un segno, quindi non sono ortogonali!! Ed è giusto che sia così. Infatti la condizione di ortogonalità delle sinusoidi è diversa da quella dei fasori !! Non devi confondere le due cose.

I fasori sono ortogonali se hanno frequenze diverse. Le sinusoidi sono ortogonali se hanno frequenze l'una il multiplo dell'altra. Sono definizioni diverse, però non so da cosa siano legate.

Spero sia più chiaro ora.

[Corrado]

Ok, ad esempio nell'esercizio in questione avevamo $x_1(t)*x_2^*(t)=6*cos(3*pi*t)*cos(2*t)=6/4*(e^(j*3*pi*t)+e^(-j*3*pi*t))*(e^(j*2*t)+e^(-j*2*t))$
$=3/2*[e^(j*2*pi*(3/2+1/pi)*t)+e^(j*2*pi*(3/2-1/pi)*t)+e^(j*2*pi*(-3/2+1/pi)*t)+e^(j*2*pi*(-3/2-1/pi)*t)]$
Ora i 4 termini tra parentesi quadre (le 4 coppie di fasori a frequenza diversa) hanno media nulla, di conseguenza la potenza mutua è nulla... Dovrebbe essere questo il ragionamento?

In ogni caso grazie della pazienza!

[LeoVa]

Ok, ad esempio nell'esercizio in questione avevamo $x_1(t)*x_2^*(t)=6*cos(3*pi*t)*cos(2*t)=6/4*(e^(j*3*pi*t)+e^(-j*3*pi*t))*(e^(j*2*t)+e^(-j*2*t))$
$=3/2*[e^(j*2*pi*(3/2+1/pi)*t)+e^(j*2*pi*(3/2-1/pi)*t)+e^(j*2*pi*(-3/2+1/pi)*t)+e^(j*2*pi*(-3/2-1/pi)*t)]$
Ora i 4 termini tra parentesi quadre (le 4 coppie di fasori a frequenza diversa) hanno media nulla, di conseguenza la potenza mutua è nulla... Dovrebbe essere questo il ragionamento?

In ogni caso grazie della pazienza!

Si il ragionamento penso sia quello. Il segnale iniziale era una somma di sinusoidi però.

[Corrado]

Sisi era una somma di sinusoidi, ma questo da me riportato è il prodotto del primo segnale per il secondo, da integrare per calcolare la potenza mutua...
Quindi se il ragionamento è questo, alla fine ci basta considerare solo l'ortogonalità dei fasori, perchè in presenza di sinusoidi, comunque li trasformiamo in fasori...