Corsi di Laurea

[momo90]

ecco a voi

[informatica]

Qualcuno sa svolgere il primo esercizio,
soprattutto il punto c)
Grazie

[f.savarese]

Una volta trovata una prima probabile espressione del tuo segnale, svolti i punti a e b devi appliacere la definizione di energia(integrale tra -infinito e + infiniso del modulo quadro del tuo segnale) ed eguagliare a 100 che è il valore dell' energia e nient'altro che la soluzione numerica dellintegrale. Il segnale non dovrebbe essere che composto da delta di dirac e quindi nell'integrale ci sono solo numeri.

[informatica]

ti ringrazio,
ma scusa non sono sommatorie???

io mi trovo:
$ delta(n)+5(delta(n-1)+delta(n+1))+((A2)/2)(delta(n-2)+delta(n+2)) $
con $ A1 $ = $ 10 $
posso vedere come si svolge il punto c)!!!
Grazie

[f.savarese]

Ora non ho svolto l'esercizio, comunque sommatorie non dovrebbero essercene, la convoluzione è comunque limitata in 2 e la trasformata del segnale sono degli impulsi (in 0 di ampiezza 1) e poi applichi la proprietà di modulazione e ottieni gli altri 4 impulsi...

[informatica]

io intendevo sommatorie per calcolare l'energia,
visto che il segnale è discreto,
o mi sbaglio???

[f.savarese]

Si si, scrivendo prima non ci ho pensato ma il senso è lo stesso....Comunque l'energia di una delta è la sua ampiezza al quadrato...

[informatica]

se lo hai risolto ti trovi
$ A1= 10 $ e $ A2= 7sqrt(2) $

[f.savarese]

Non l'ho svolto ora....Ma ricordo numeri di questo tipo....del 10 sono sicuro...dell' altro un po' meno

[d-Enzo]

L'energia di una delta di Kronecker (e non di Dirac! ) è pari al quadrato dell'ampiezza della delta stessa, ed essendo incorrelate nel tempo puoi ricavare l'energia della sequenza totale come somma delle energie delle singole delta... seguendo i passi della traccia io mi trovo $A_1 = 10$ e $A_2 =7*sqrt(2)$

[f.savarese]

Scusa quelle non sono delta di dirac?

[d-Enzo]

Scusa quelle non sono delta di dirac?

sono sequenze, non forme d'onda nel continuo

[f.savarese]

Hai ragione ti chiedo scusa...

[d-Enzo]

Tranquillo, mica m'offendo ... lo faccio perchè se dite cose del genere in esame non lamentatevi se i prof o gli assistenti vi cazzeano!

[f.savarese]

E chi si lamenta, non per cadere con le quattro zampe ma cmq il calcolo dell'energia va fatto allo stesso modo..Non vorrei essermi sbagliato anche su qst....

[ildiabolico]

Non ti sei sbagliato caro l'energia si calcola indubbiamente in quel modo.
Tuttavia i due delta sono concetti simili ma diversi al tempo stesso: entrambe restituiscono uno in 0 ma sotto condizioni diverse;
anche per questo le proprietà che ne discendono sono lievemente diverse in ogni caso si tratta di sottigliezze matematiche sebbene concordo
con d-Enzo, ho assistito a scene di proff che nn sono rimasti contenti da quella Non-distinzione

[d-Enzo]

Ma più che altro in un esame concettuale e non applicativo come TdS sbagliare anche solo il nome di qualcosa fa decadere tutto il concetto stesso che si vorrebbe discutere. Basta ricordare il solo fatto che a rigore matematico la delta di Dirac neanche è una funzione (perchè non è definibile in x=0), mentre quella di Kronecker si (fa 1 in n=0 e 0 altrove). È solo questione di chiamare le cose per nome; Dirac, Heaviside e compagnia ci hanno buttato la vita, un pò di riconoscenza

[marco89thebest]

Ragazzi sapete descrivermi come si potrebbe fare l'ultimo punto dell'esercizio 2?

[informatica]

Per l'ultimo punto dell'esercizio 2 si procede così:
Un interarrivo di Poisson è distribuito come un esponenziale del tipo:
$ f_x(x)=lambda e^(-lambda t) $
da qui si calcola lo stimatore, facendo la produttoria della funzione di distribuzione $ F_x(x) $
quindi $ F_x(x)= prod(lambda e^(-lambda t_i)) = lambda^(n) e^(-sum(lambda t_i)) $
passando la logaritmo si ottiene:
$ n log lambda - sum lambda t_i $
derivando rispetto a $ lambda $ si ottiene:
$ n/lambda - sum t_i = 0 $
quindi calcolo lo stimatore $ lambda $
$ 1/lambda= 1/n sum t_i $

[Dex]

Vi posto il mio svolgimento

per il primo esercizio:
$X(nu)=1+A_1/2*(e^(j*2*pi*nu)+e^(-j*2*pi*nu))+A_2/2(e^(j*4*pi*nu)+e^(-j*4*pi*nu))=sum_(k=0)^2 A_k *(e^(j*2*pi*nu*k)+e^(-j*2*pi*nu*k))$ dove si è assunto che $A_0=1$

a) antitrsformando:
$x(n)=sum_(k=0)^2 [A_k/2*(delta(n-k)+delta(n+k))]

se $y(n)=x(n)$*$delta(n-3)$ allora:
$y(n)=[delta(n)+A_1/2(delta(n-1)+delta(n+1))+A_2/2(delta(n-2)+delta(n+2))]$*$delta(n-3)$ $=>$
$Y(nu)=[1+A_1/2*(e^(j*2*pi*nu)+e^(-j*2*pi*nu))+A_2/2(e^(j*4*pi*nu)+e^(-j*4*pi*nu))]e^(-j*6*pi*nu)$ $=>$
$e^(-j*6*pi*nu)+A_1/2(e^(-j*4*pi*nu)+e^(-j*8*pi*nu))+A_2/2(e^(-j*2*pi*nu)+e^(-j*10*pi*nu))$ $=>$
$y(n)=delta(n-3)+A_1/2(delta(n-2)+delta(n-4))+A_2/2(delta(n-1)+delta(n-5))$
$y(2)=A_1/2=5$ $=>A_1=10$

$x(n)=1+5delta(n-1)+5delta(n+1)+A_2/2delta(n-2)+A_2/2delta(n+2)$


c) se la potenza $xi_x=100$ allora:
$xi_x= sum_(n=-infty)^infty |x(n) | ^2 =100$ $=>$ $1+25+25+A_2^2/4+A_2^2/4=100$ $=>$ $A_2^2=49*2$ $=>$ $A_2=7sqrt(2)$

$x(n)=1+5(delta(n-1)+delta(n+1))+7/sqrt(2)(delta(n-2)+delta(n+2))$


per il secondo esercizio:
a) siccome la cdf è del tipo $N(t)=(e^(-lambda) lambda^t )/(t!)$
$E(t)=int_-infty^infty (t e^(-lambda) lambda^t )/(t!) dt = lambda*e^-lambda int_-infty^infty lambda^(t-1)/((t-1)!)dt=lambda*e^-lambda*e^lambda=lambda$
$E(t^2)=int_-infty^infty (t^2 e^(-lambda) lambda^t )/(t!) dt = lambda e^-lambda int_-infty^infty (t lambda^t-1 )/((t-1)!) dt = lambda e^-lambda (lambda+1) e^lambda=lambda^2+lambda$
$VAR(t)=E((t-E(t))^2)=E(t^2)-E(t)^2=lambda^2+lambda-lambda^2=lambda$

$r_(N,N)(s,t)=E[N(t)N(s)]=VAR{N(s)}+E{N(s)}E{N(t)}=lambdat+lambda^2st$

c) la pdf mista di ordine N, la N(k) dipende da k, e la sequenza dei tempi di arrivo T(k) ha media $k/lambda$ e varianza $k/lambda^2$ dunque tale processo non è stazionario neppure in senso stretto.
si noti però che il processo D(k) distanza tra i tempi di arrivo T(k)-T(k-1) è stazionario perchè la sua statistica non dipende da k, infatti ha media $1/lambda$ e varianza $1/lambda^2$.

d) il processo è markoviano in quanto al tempo $t_N$ esso non dipende dal suo valore negli istanti che vanno da $t_1$ a $t_(N-2)$ ma solo da $t_(N-1)$
$F(x_N|x_(N-1),...,x_1;t_N,t_(N-1),...,t_1)=F(x_N|x_(N-1);t_N,t_(N-1))$ nel predire lo stato futuro basta tener conto dello stato presente e non della storia passata.

e) $underline(t)$ vettore di osservazioni, $p(underline(t),lambda)=prod_(i=0)^M (e^-lambda lambda^(t_i))/(t_i!)=(e^(-Mlambda)lambda^(sum_(i=0)^M t_i))/(prod_(i=0)^M t_i !)
$log(p(underline(t),lambda))= -Mlambda+log(lambda) sum_(i=0)^M t_i-sum_(i=0)^M log(t_i !)$
$(partial log(p(underline(t),lambda)))/(partial lambda) = -M +1/lambda sum_(i=0)^M t_i =0 $ $=>$ $ hat(lambda)_(ML)= 1/M sum_(i=0)^M t_i$

per il terzo esercizio:

a) il p-esimo percentile l'ho calcolato come:
$p=int_(x_p)^infty 1/(sqrt(2*pi)sigma) exp{-(x- mu)^2/(2*sigma^2)} dx$
ricordando che $Q((x-mu)/sigma)=int_(x)^infty 1/(sqrt(2*pi)sigma) exp{-(u- mu)^2/(2*sigma^2)} du$
$p=Q((x_p-mu)/sigma)$ $=>$ $x_p=sigma*Q^-1(p)+mu

Per il Toerema del Limite centrale una v.a. continua con qualsiasi distribuzione, dopo N ripetizioni tende ad una normale con media $mu=sum_(i=0)^N mu_i$ e varianza $sigma^2=sum_(i=0)^N sigma^2_i$
oppure ricordando che la combinazione lineare di variabili normali da una variabile normale i cui parametri sono la combinazione lineare dei parametri delle singole variabili aleatorie, cioè:
$x=alpha_1 x_1+alpha_2 x_2+ ... + alpha_N x_N$ $=>$ $mu=alpha_1 mu_1+alpha_2 mu_2+ ... + alpha_N mu_N$ $=>$ $sigma^2=alpha_1 sigma^2_1+alpha_2 sigma^2_2+ ... + alpha_N sigma^2_N

dunque per $Y=sum_(i=0)^N X_i$ $=>$ $f_Y(y)=1/(sqrt(2*pi* sum_(i=0)^N sigma^2_i)) exp{-(y- sum_(i=0)^N mu_i)^2/(2 sum_(i=0)^N sigma^2_i)}

c) allo stesso modo per $Z=1/N sum_(i=0)^N X_i$ $=>$ $f_Z(z)=1/(sqrt(2*pi* 1/N sum_(i=0)^N sigma^2_i)) exp{-(z - 1/N sum_(i=0)^N mu_i)^2/(2 1/N sum_(i=0)^N sigma^2_i)}