[TRACCIA] FAST 2 24/10/2008

come da titolo [TRACCIA] FAST 2 24/10/2008

Miei risultati del quesito 4:

a) Una possibile base è

$ psi_1(t)=(s_1(t))/sqrt(epsilon_1) $
$ psi_2(t)=(s_4(t))/sqrt(epsilon_1) $

dove $ epsilon_1=(A^2T)/2 $

Le coordinate dei punti della costellazione sono:

$ s_1(sqrt(epsilon_1),0) $
$ s_2(sqrt(epsilon_1)/2, -sqrt(epsilon_1)/2) $
$ s_3(0,0) $
$ s_4(0,sqrt(epsilon_1)) $

c) $ epsilon_(av)=5/16A^2T $
$ epsilon_(bav)=5/32A^2T $

d) Il ricevitore ottimo opera proiettando sui 2 versori considerati, il decisore ottimo invece opera a minima distanza.
Ho calcolato le regioni di decisione graficamente...

e) $ p(e)<=1/2Q(sqrt(epsilon_1/(N_0)))+Q(sqrt(epsilon_1/(2N_0)))+Q(sqrt(epsilon_1/(4N_0))) $

sulla soluzione di eferre ho 2 dubbi:
nel punto per come è stata definita la base ortonormale non dovrebbe essere $ s2(sqrt(E)/2,-sqrt(E)/2) $ mo forse qui sono io che vaneggio
nel punto E) partendo dalla costellazione descritta sopra da dove esce quel $ Q(sqrt(E/(No))) $?

Per quanto riguarda il primo punto hai ragione, però ho solo sbagliato a trascrivere qui su r0x, quindi il resto dell'esercizio è fatto bene...

Per quanto riguarda il secondo punto provo a scriverti a titolo di esempio la probabilità $p(e|s_1)$ per farti capire da dove esce:

$p(e|s_1)<=Q(sqrt(((d_(13))^2)/(2N_0)))+Q(sqrt(((d_(12))^2)/(2N_0)))+Q(sqrt(((d_(14))^2)/(2N_0)))=$
$=Q(sqrt((epsilon_1)/(2N_0)))+Q(sqrt((epsilon_1)/(4N_0)))+Q(sqrt((epsilon_1)/(N_0)))$

ok allora mi trovo con te, e che calcolavo l'union bound per la costellazione che avevi scritto tu prima e non capivo come faceva a uscirti quel risultato

Ragazzi una domanda stupida, come avete considerato s4? Io sbagliando ho fatto $ s_4=A $ ma ovviamente non mi trovo con i vostri risultati sull'energia.
Per quanto riguarda l'union bound io mi trovo $ P(e)<= 1/2Q(sqrt(epsilon_1/N_0))+Q(sqrt(epsilon_1/(2N_0))) + Q(sqrt(epsilon_1/(4N_0)))+1/2Q(sqrt(5epsilon_1/(4N_0))) $ dove ho sbagliato?

Mi trovo con la soluzione di eferre. Per quanto riguarda la domanda di ascal1, in realtà la probabilità che hai scritto è corretta a meno di quel fattore $1/2Q(sqrt(5epsilon_1/(4N_0)))$ che credo sia dovuto al fatto di aver tenuto conto nel calcolo della probabilità condizionata P(e/s2) o P(e/s4) anche del contributo $Q(sqrt(d_{24}^2/(2N_0)))$ che, poichè le regioni R2 e R4 non sono adiacenti, non va considerato.

Le probabilità condizionate corrette sono queste:
$p(e|s_1)<=Q(sqrt(((d_(13))^2)/(2N_0)))+Q(sqrt(((d_(12))^2)/(2N_0)))+Q(sqrt(((d_(14))^2)/(2N_0)))$
$p(e|s_2)<=Q(sqrt(((d_(23))^2)/(2N_0)))+Q(sqrt(((d_(34))^2)/(2N_0)))+Q(sqrt(((d_(13))^2)/(2N_0)))$
$p(e|s_3)<=Q(sqrt(((d_(23))^2)/(2N_0)))+Q(sqrt(((d_(12))^2)/(2N_0)))$
$p(e|s_4)<=Q(sqrt(((d_(34))^2)/(2N_0)))+Q(sqrt(((d_(14))^2)/(2N_0)))$

Ovviamente questi risultati valgono a patto di scegliere le basi come è stato fatto nella soluzione proposta.

Ragazzi mi spiegate come esce $ psi_2 $? Io quando calcolo $ d_2=s_2(t) - c_(21)psi_1 $ ottengo che $ c_(21)=A/2sqrt(T/2) $ quindi $ d_2=s_2-A/2sin(2pi t/T) $ e visto che s2 è definito tra 0 e T/2 non mi esce una cosa che si avvicina al risultato da voi postato e non riesco a capire come procedere

Mi rispondo da solo usando il procedimento di Grahm-Schmidt mi trovo comunque due basi dove:
$ psi_1=(s_1(t))/sqrt(epsilon) $ e $ psi_2=sin((2pi t)/T)/sqrt(T/2) ; per 0 Mi trovo una costellazione leggermente differente che però mi da le stesse prob. d'errore:
$ s_1(t)=(sqrt(epsilon),0) $
$ s_2(t)=(sqrt(epsilon)/2,sqrt(epsilon)/2) $
$ s_3(t)=(0,0) $
$ s_4(t)=(0,-sqrt(epsilon)) $
E' comunque corretto?

$ psi2(t)=(s4(t))/sqrt(epsilon)=-sin((2*pi*t)/T)/sqrt(epsilon) $ per $ 0 in pratica hai invertito i segni!

Mi rispondo da solo usando il procedimento di Grahm-Schmidt mi trovo comunque due basi dove:
$ psi_1=(s_1(t))/sqrt(epsilon) $ e $ psi_2=sin((2pi t)/T)/sqrt(T/2) ; per 0Mi trovo una costellazione leggermente differente che però mi da le stesse prob. d'errore:
$ s_1(t)=(sqrt(epsilon),0) $
$ s_2(t)=(sqrt(epsilon)/2,sqrt(epsilon)/2) $
$ s_3(t)=(0,0) $
$ s_4(t)=(0,-sqrt(epsilon)) $
E' comunque corretto?

Visto che $ psi_2 $ è come lo hai calcolato tu, alla fine dei giochi, ho due basi di $ psi_2 $ definito nei due intervalli dei tempi $ 0Allora come basi quali considero?
$ psi_1 $ come e stata trovata sopra e $ psi_2 $ prendo una qualsiasi tra le due trovate nei due intervalli temporali?