[TRACCIA] FAST 2 08/07/2008

Come da titolo

posto una possibile soluzione per l'esercizio 4:

a) $P(s1) cdot f(r|S1) (: (S1),(>),(<),(S2) P(S2) cdot f(r|S2)$
$ f(r|S1) (:(S1),(>),(<),(S2) f(r|S2) => $

$ frac (1) (sqrt(2pi sigma^2)) cdot exp(frac ( -(r1-s11)^2-(r2-s12)^2) (2 sigma^2) )$

$ (:(S1),(>),(<),(S2) frac (1) (sqrt(2pi sigma^2)) cdot exp(frac ( -(r1-s21)^2-(r2-s22)^2) (2 sigma^2) ) $

$ -(r1-s11)^2-(r2-s12)^2 (:(S1),(>),(<),(S2) -(r1-s21)^2-(r2-s22)^2$
$ - epsi+ 2r1 sqrt(epsi) (:(S1),(>),(<),(S2) -a^2 epsi+2 a r2 sqrt(epsi) $
$ r1-a r2 (:(S1),(>),(<),(S2) frac (sqrt(epsi)) (2) cdot (1-a^2)$

essendo $ sigma^2 (a cdot x) = a ^2 cdot sigma^2 (x)$ allora
$ sigma^2(n1+ a cdot n2) = (sigma_1)^2+ a^2 cdot (sigma_2)^2$

$P(e|s1) = P(r1- a cdot r2 < frac( sqrt(epsi)) (2) cdot (1-a^2))$=
$ P(frac((n1-a n2) - (sqrt(epsi))) (sigma) < frac [frac (sqrt(epsi)) (2) cdot (1-a^2)-(sqrt(epsi))] (sigma))$

$P(z< - sqrt[frac (2) (No cdot (1+ a^2))] cdot frac (sqrt(epsi) (2) cdot (-1-a^2)]) $
=$ P(z<- sqrt[ frac (epsi cdot (1+ a^2)) (2No)])= $ $Q( sqrt [ frac ( (epsi ) cdot (1+ a^2) ) (2No) ] ) $

quindi se a=1 si ha $Q( sqrt ( frac (epsi)( N0) ) )$ come nella pam ortogonale.

analogamente si calcola che $p(e|s2)=Q ( sqrt [ frac ((epsi ) cdot (1+ a^2)) (2No) ] )$
quindi $P(e)= 1/2 cdot P(e|s1) + 1/2 cdot P(e|s2) = Q(sqrt(frac (epsi)( N0)))

c) d)$epsi_av = frac ((1+a^2) cdot epsi) (2)$ ; il valore minimo si ha per a=0 => $epsi_av= epsi/2$

essendo Q(x) approssimabile a $ -1/2 exp ( frac(-x^2) (2))$ , il valore minimo di P(e) si ha per x tendente a infinito, e quindi per a tendente a infinito.

e) per a=0 si ha una segnalazione pam binaria.

posto anche una soluzione per il terzo esercizio:

c'è un esercizio analogo a pag. 198 n. 3.28 ; la soluzione è a pag 60 .

in unscita al modulatore Fm a banda stretta avremmo $x1(t)= Ac cdot cos[2pifot + psi(t)]$ dove $psi(t)=kp cdot m(t)$
dove $m(t)=Kp cdot Am cdot cos (2pifmt)$
x1(t) è in ingresso ad un moltiplicatore di frequenza, in uscita al moltiplicatore avremmo
$x2(t)= Ac cdot cos[2pinfot+npsi(t)]$

x2(t) entrerà poi nel mixer e avremmo in uscita $y(t)=Ac cdot cos[2pi(nfo + flo) cdot t +n psi(t)]

la max deviazione in frequenza si ottiene moltiplicando la max deviazione di fase per W dove W è la banda del segnale

$deltaf=beta cdot W= 0.2 cdot 15 cdot 10^3= 3 cdot 10^3 hz$
$n1 cdot deltaf= 75 cdot 10^3 hz$ => n1=25

$fc=105 cdot 10^6= n cdot 3 cdot 10^6+flo => flo= 30 Mhz$

$y(t)= ac cos[2pifct+25 psi(t)] => beta= deltafmax/W= 5$
$Bc= 2 (beta+1) fm=180 khz$

io nel quesito 4 mi trovo che$ (a^2 +1 )/2 $ sta fuori radice...

io nel quesito 4 mi trovo che$ (a^2 +1 )/2 $ sta fuori radice...

Confermo che sta sotto radice.

Ho qualche dubbio che la soluzione dell'esercizio 4 sia del tutto corretta, in particolare per quanto riguarda le probabilità di errore condizionate che ho calcolato e non trovo uguali:

$P(e)= 1/2 cdot P(e|s1) + 1/2 cdot P(e|s2) = 1/2Q(sqrt(frac (epsi(alpha+1)^2)( 4N0))) + 1/2Q(sqrt(frac (epsi(alpha^2+2alpha-1)^2)( 4N0)))$

Per il resto tutto ok.

Come ho fatto io, trovando la variabile aleatoria $ X=alpha r_2 - r_1 $ trovi che X ha media = $ alpha * alpha sqrt(epsilon) -0 $ e quindi così si trova. Anch'io non avevo considerato alpha e mi trovavo come te.

Ok, avevo mancato la moltiplicazione per apha, adesso mi trovo. Anzi al denominatore mi trovo 4, non 2. Tu come ti trovi?

Rispondo anche a nome di losaitu, entrambi ci troviamo al denominatore 2 e non 4.....

Ok, ho ricontrollato meglio, anche per la varianza avevo dimenticato di considerare alpha.