[Traccia] Fast II [14/06/2011]

La traccia di oggi. Qualcuno sa dirmi come si fa o almeno come si imposta il quesito 4?

Mi aggrego...Ragazzi c'è qualche anima pia che potrebbe postare la soluzione dei quesiti 3 e 4?

In collaborazione con ascal1. Postiamo il nostro svolgimento fateci sapere il vostro parere.


Quesito 3.

Le basi con la procedura di grahm-schmidt sono:
a.
$ psi_1=s_1(t) $
$ psi_2=s_2(t) $
in quanto s1 e s2 hanno energia unitaria e c21=0.
Per la terza base otteniamo:
$ c_(31)=alpha $
$ c_(32)=alpha $
quindi $ d_3=0 $
b.La costellazione è :
$ s_1=(sqrt(epsilon),0) $
$ s_2=(0,sqrt(epsilon)) $
$ s_3=(alpha,alpha) $
Al variare di alpha s3 si sposta lungo la retta y=x.

c. $ E_(av)=2/3(1+alpha^2) $
d. Per utilizzare l'Union Bound calcoliamo le distanze tra i segnali.
$ d^2_(12)=2epsilon $
$ d^2_(13)=(1-alpha)^2+alpha^2 $
$ d^2_(23)=alpha^2+(1-alpha)^2 $

$ P(e|s_1)<=Q[sqrt( ((1-alpha)^2+alpha^2)/(2N_0))]+Q[sqrt(epsilon/(2N_0) ) ] $
$ P(e|s_2)<=Q[sqrt( ((1-alpha)^2+alpha^2)/(2N_0))]+Q[sqrt(epsilon/(2N_0) ) ] $
$ P(e|s_3)<=Q[sqrt( ((1-alpha)^2+alpha^2)/(2N_0))]+Q[sqrt(epsilon/(2N_0) ) ] $
$ P(e)<=1/3(P(e|s_1)+P(e|s_2)+P(e|s_3))=Q[sqrt( ((1-alpha)^2+alpha^2)/(2N_0))]+Q[sqrt(epsilon/(2N_0) ) ] $

Quesito 4

a. Sappiamo che la probabilità di prendere una corretta decisione è ottenuta massimizzando la probabilità a posteriori che ci viene data dalla regola di Bayes.
$ P(s_m|r)=(f(r|s_m)P(s_m) )/f(r) $
Per massimizzare tale probabilità è sufficiente trovare il segnale che massimizza $ f(r|s_m) $ visto che i nostri segnali hanno uguali probabiltà a priori (Criterio ML).
Quindi confrontando le pdf:
$ f(r|s_1){:(s_1),(>),(<),(s_2):}f(r|s_2) $
applicando i ln a entrambi i membri, tale confronto si riduce a:
$ -|r+sqrt(epsilon)|{:(s_1),(>),(<),(s_2):}-|r-sqrt(epsilon)| => |r+sqrt(epsilon)|{:(s_1),(<),(>),(s_2):}|r-sqrt(epsilon)| $
Confrontare i moduli è uguale a confrontare i moduli quadri (o se volete, elevando entrambi i membri al quadrato) otteniamo:
$ |r+sqrt(epsilon)|^2{:(s_1),(<),(>),(s_2):}|r-sqrt(epsilon)|^2 => d_(r1){:(s_1),(<),(>),(s_2):}d_(r2) $ cioè il decisore sceglie il segnale che ha la minima distanza da r.
b. Nel caso di rumore con pdf di tipo laplace, basta ricordare che la soglia di decisione non cambia e che quindi:

$ P(e|s_1)=P(r>0)=1/sqrt(N_0)int_0^(+oo) e^( -2|r+sqrt(epsilon)|/sqrt(N_0)) dr $
Svolgendo quest'integrale (si pone $ x=2(r+sqrt(epsilon))/sqrt(N_0) $)
ottengo: $ P(e|s_1)=P(e|s_2)= 1/2 e^(-2sqrt(epsilon/N_0))=P(e) $


c. d.
Nel caso di rumore gaussiano per la segnalazione Pam antipodale la probabilità d'errore è ben nota ed è
$ Q(sqrt( (2epsilon_b)/N_0)) $
Quella totale del sistema è:
$ P(e)=(1-p)1/2 e^(-2sqrt(epsilon/N_0)) +pQ(sqrt( (2epsilon_b)/N_0)) $

Approssimando $ Q(x)=1/2 e^(-x^2/2) $:

Possiamo dire che per alto SNR entrambe le probabilità d'errore tendono a 0, mentre per basso SNR notiamo che la probabilità d'errore del sistema iniziale tende sempre a 1, invece quella del secondo sistema tende a $ 1-p/2 $ quindi, per $ p>0 $ sempre minore di 1. Di conseguenza è preferibile il secondo sistema.

edit: 10 Luglio 2011 - Corretta energia media.

Scusate ragazzi ma l'energia media nell'esercizio 3 non dovrebbe essere $ epsilon_(av)=2/3 *(1+alpha^2) $ ?

Si hai ragione. C'è un errore nello svolgimento, l'energia media è $2/3(1+alpha^2)$

Vabè, dato che ci sono aggiungo anche che, quando svolsi il compito all'esame, per calcolare la probabilità d'errore massima attraverso l'Union Bound, eliminai dai calcoli l'$alpha$ ponendomi nel caso peggiore in cui il punto $s_3$ si trovi nel punto medio del segmento che congiunge $s_1$ ed $s_2$. E poi a partire da tale condizione calcolai, attraverso il classico procedimento, il limite superiore della $P(e)$.

Ovviamente è $ 2/3 (1+alpha^2) $. Scusate ma è stato un errore di trascrizione su r0x. Grazie della correzione, aggiusto subito. Grazie anche del suggerimento sull'union bound.

scusate ma nel quesito 3 punto d, considerate le distanze con cui mi trovo anche io, non dovrebbe essere:
$ P(e|s_1)<=Q[sqrt( ((1-alpha)^2+alpha^2)/(2N_0))]+Q[sqrt((2epsilon)/(2N_0) ) ] $
$ P(e|s_2)<=Q[sqrt( ((1-alpha)^2+alpha^2)/(2N_0))]+Q[sqrt((2epsilon)/(2N_0) ) ] $
$ P(e|s_3)<=2Q[sqrt( ((1-alpha)^2+alpha^2)/(2N_0))] $

ma più che altro non capisco il perchè si usi la epsilon quando i primi due segnali sono ortonormali tra loro e quindi quando li proietti sulla base esce (1,0) e (0,1).
Cmq si, s1 e s2 hanno distanza $sqrt2$ e quindi il secondo fattore è $Q(sqrt(1/N_0))$.

Inoltre c'è da specificare meglio l'ultimo punto del secondo esercizio, definito il SNR in uscita pari a $(2 epsilon_b)/N_0$ avremo che la prob. d'errore totale approsimando la Q come chiede la traccia:
$P(e) =(1-p)/2 e^-(sqrt((SNR)/2)) + p/2 e^-((SNR)/2)$
e quindi resta sempre meglio il sistema di prima purchè la p sia piccola, a occhio minore di 0.25... quando la p aumenta il secondo sistema è decisamente più performante.

scusate ma nel quesito 3 punto d, considerate le distanze con cui mi trovo anche io, non dovrebbe essere:
$ P(e|s_1)<=Q[sqrt( ((1-alpha)^2+alpha^2)/(2N_0))]+Q[sqrt((2epsilon)/(2N_0) ) ] $
$ P(e|s_2)<=Q[sqrt( ((1-alpha)^2+alpha^2)/(2N_0))]+Q[sqrt((2epsilon)/(2N_0) ) ] $
$ P(e|s_3)<=2Q[sqrt( ((1-alpha)^2+alpha^2)/(2N_0))] $

ragazzi mi sapete spiegare perchè le probabilità condizionate vengono calcolate così?
$ P(e|s_1)<=Q[sqrt( ((1-alpha)^2+alpha^2)/(2N_0))] $
$ P(e|s_2)<=Q[sqrt( ((1-alpha)^2+alpha^2)/(2N_0))] $
$ P(e|s_3)<=2Q[sqrt( ((1-alpha)^2+alpha^2)/(2N_0))] $