svolgimento prova del 24/02/2011

Ragazzi ci sta qualche anima pia che può postare lo svolgimento dell'esx n°4 di oggi?

Potresti postare la traccia?

viewtopic.php?f=31&t=14322 ecco a te esx 4

la traccia vi chiede da calcolare la prob. d'errore in un 2-PAM equiprobabile prima sul canale AWGN standard, poi su un canale affetto da rumore la cui pdf è specificata da quella formula (è una variabile di Laplace a media nulla e varianza $sqrt(N_o)/2$) e di metterle a confronto con un SNR alto.
Alla fine era questione di svolgere qualche integrale, provo a svolgerli ... aspettate un pò

Allora, abbiamo un 2-PAM con i segnali equiprobabili, definiamo $s_1 = sqrt(epsilon_$ e $s_0 = -sqrt(epsilon_$. Considerando la trasmissione in un canale affetto dal solito AWGN, in uscita dal demodulatore avremo rispettivamente $r = sqrt(epsilon_+omega$ se è stato trasmesso $s_1$ e $r = -sqrt(epsilon_+omega$ se è stato trasmesso $s_0$.
Il decisore ottimo è ovviamente:
$r>0 => s_1$
$r<0 => s_0$
Le PDF condizionate ovviamente son uguali a:
$f(r|s_1)=1/sqrt(pi N_0) e^(-(r-sqrt(epsilon_)^2/N_0)$
$f(r|s_0)=1/sqrt(pi N_0) e^(-(r+sqrt(epsilon_)^2/N_0)$

Per calcolare la $P(e)$ di un simbolo basta integrare nella regione di decisione la PDF condizionata secondo r. Il risultato è uguale al celebre $P(e|s_1)=P(e|s_0)=Q(sqrt((2*epsilon_b)/N_0))$

Ora la traccia ci dice di calcolare la prob. d'errore con la $omega$ distribuita secondo quella pdf, ossia secondo una distribuzione di Laplace a media nulla e varianza $sqrt(N_0)/2$. Il filtro ovviamente non cambia, perchè il sistema è sempre lo stesso.
Le due PDF condizionate risultano essere:
$f(r|s_1)=1/sqrt(N_0) e^((-2|r-sqrt(epsilon_|)/sqrt(N_0))$
$f(r|s_0)=1/sqrt(N_0) e^((-2|r+sqrt(epsilon_|)/sqrt(N_0))$

Essendo equiprobabile, la $P_e$ risulta cmq la stessa e si ottiene integrando ugualmente nella regione di decisione la PDF condizionata rispetto a r.
Calcoliamo la $P_e$ considerando trasmesso $s_1$:
$P(e|s_1)=1/sqrt(N_0) int_(-oo)^0 e^((-2|r-sqrt(epsilon_|)/sqrt(N_0)) dr = 1/sqrt(N_0) int_(-oo)^0 e^((2(r-sqrt(epsilon_))/sqrt(N_0)) dr$

Sostituendo:
$(2(r-sqrt(epsilon_))/sqrt(N_0) = y$

l'integrale diventa (i cambi ve li calcolate voi ):
$P(e|s_1)=1/2 int_(-oo)^(-2 sqrt(epsilon_b/N_0)) e^y dy= 1/2 e^(-2 sqrt(epsilon_b/N_0))$

O, per mettere la $P_e$ in funzione di $sqrt((2*epsilon_b)/N_0)$
$P(e|s_1)=P(e|s_0)=1/2 e^(-sqrt(2) sqrt((2*epsilon_b)/N_0))$

Abbiamo le due $P_e$ e ci chiede di confrontarle... carta e penna si può fare ponendo dei valori a nostra discrezione di $epsilon_b/N_0$ e noteremo che per valori maggiori di 1 la $P_e$ nel secondo canale è maggiore. Si può vedere banalmente anche con MatLab:

x=[0];

awgn=qfunc(x);

lap=.5*exp(sqrt(2).*x);

plot(x,awgn); hold on; plot(x,lap,'-r');

io ho fatto un range da 0 a 10, ma ovviamente nulla vi vieta di cambiarlo.

Per il decisore ottimo, credo che esso cmq non cambia, perchè la distanza euclidea è la stessa...

Caro d-enzo, pare tutto estremamente corretto.
Ciao.

anche io l'ho risolto ora,devo dire che era facile,ma siccome all'esame mi interstardivo a portarla sottoforma di q nn me ne uscivo più.