[TRACCIA] 17/01/2011

Ecco la traccia ovviamente vale anche sia per FAST I e FAST II
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Ho notato i punti interrogativi vicino agli ultimi quesiti del secondo esercizio!!!
Per calcolare la probabilità di errore basta fare un ragionamento del genere...
Il sistema sbaglia se uno dei due decisori sbaglia mentre l'altro c'azzecca!!!
Quindi la probabilità di errore totale della cascata è:
P(e)=[P(e1)+(1-P(e2))]*[(1-P(e1)+P(e2))]
Ricordando che 1-Q(x)=Q(-x) è semplice trovare la P(e)tot
Per l'ultimo punto mettere tutto in funzione della sola E1, sapendo che E1+E2=Etot, e fare la derivata della funzione rispetto a E1...particolarizzarla in 0(Cerchiamo un punto di minimo) e ricaviamo E1 tale che la prob di errore sia minima!!!

Grazie granata per le tue spiegazioni
Questa traccia qualcuno l'ha svolta e può postarla?? Ho molti dubbi riguardo lo svolgimento.

up

Vabbè l'esercizio 3, spiegazione dal libro...

Quesito 4

a. Siamo in presenza di un sistema binario equiprobabile PAM antipodale, quindi trasmetterò 1 con energia $varepsilon_1$ e trasmetterò 0 con energia $- varepsilon_1$. Ora l'unica differenza dall'esercizio standard e la densità spettrale di potenza del rumore che è $N_0$ e non $N_0/2$.

Sappiamo che possiamo calcolare le probabilità di errore condizionate integrando le relative pdf condizionate (criterio MAP ovvero a massima verosimiglianza visto che la segnalazione è equiprobabile). In questo caso possiamo esprimere le pdf come:

$f(r|a=1) = 1/sqrt(2 pi N_0) e^((r-sqrt(varepsilon_1))^2/(2 N_0))$
$f(r|a=0) = 1/sqrt(2 pi N_0) e^((r+sqrt(varepsilon_1))^2/(2 N_0))$

Notiamo la presenza del due al denominatore sia nel fattore moltiplicativo che all'esponente dovuto alla diversa densità spettrale di potenza del rumore.

Ora sapendo che la soglia per un sistema binario PAM di tipo antipodale è fissata in 0, possiamo calcolare le probabilità di errore condizionate:

$P(e|a=1) = int_{-oo}^{0} f(r|a=1) dr = 1/sqrt(2 pi N_0) int_{-oo}^{0} e^((r-sqrt(varepsilon_1))^2/(2 N_0)) dr$

Effettuiamo un cambio di variabile per portarlo nella forma che ci permettere di scrivere la funzione Q
ponendo $(r-sqrt(varepsilon_1))^2/(2 N_0) = x^2/2 $ e facendo un po' di conti risulta:

$P(e|a=1) = int_{-oo}^{-sqrt(varepsilon_1/N_0)} e^(-x^2/2) dx = 1 - Q(-sqrt(varepsilon_1/N_0)) = Q(sqrt(varepsilon_1/N_0))$

In modo del tutto simile per calcolare la probabilità di errore condizionata alla trasmissione del simbolo 0:

$P(e|a=0) = int_{0}^{+oo} f(r|a=0) dr = 1/sqrt(2 pi N_0) int_{0}^{+oo} e^((r+sqrt(varepsilon_1))^2/(2 N_0)) dr$

Facendo lo stesso cambio di variabile viene fuori che:

$P(e|a=0)=Q(sqrt(varepsilon_1/N_0))$

La probabilità di errore non condizionata equivale alla probabilità di errore di tutto il sistema, quindi essendo il sistema equiprobabile possiamo scrivere:

$P(e) = 1/2 P(e|a=1) + 1/2 P(e|a=0) = 1/2 [Q(sqrt(varepsilon_1/N_0)) + Q(sqrt(varepsilon_1/N_0))] = Q(sqrt(varepsilon_1/N_0))$

b. Questo punto è esattamente un PPM binario nella forma standard, quindi come suggerito dalla traccia "Scrivere l'espressione delle due probabilità di errore condizionate" (scrivere, non ricavare) e come suggerito anche dal prof. Marano in sede d'esame, quando troviamo una forma standard e non è richiesto di ricavare, possiamo applicare direttamente la formula senza fare particolari conti. Quindi per un PPM binario equiprobabile su un canale AWGN a densità spettrale $N_0/2$ vale:

$P(e|a=1) P(e|a=0) = Q(sqrt(varepsilon_2/N_0))$

Anche qui essendo il sistema equiprobabile la probabilità di errore complessiva è:

$P(e) = 1/2 P(e|a=1) + 1/2 P(e|a=0) = 1/2 [Q(sqrt(varepsilon_2/N_0)) + Q(sqrt(varepsilon_2/N_0))] = Q(sqrt(varepsilon_2/N_0))$

c. Ora essendo il sistema complessivo formato dalla cascata dei due sistemi e considerando che il sistema è binario consideriamo tutte le quattro possibilità:

1.sia il primo sia il secondo sistema decidono correttamente;
2. il primo sistema decide correttamente, il secondo invece sbaglia;
3. il primo sistema sbaglia, il secondo decide correttamente;
4. sbagliano entrambi i sistemi.

Dobbiamo considerare il fatto che nel nostro calcolo della probabilità di errore complessiva il caso 4 equivale al caso 1 infatti essendo il sistema binario se sbagliano entrambi i sistemi l'uscita sarà in realtà uguale all'ingresso.

Quindi possiamo scrivere la probabilità di errore del sistema come:

$P_(TOT)(e) = [1 - Q(sqrt(varepsilon_1/N_0))]Q(sqrt(varepsilon_2/N_0)) + Q(sqrt(varepsilon_1/N_0))[1- Q(sqrt(varepsilon_2/N_0))] = $
$=Q(sqrt(varepsilon_1/N_0)) -2Q(sqrt(varepsilon_1/N_0))Q(sqrt(varepsilon_2/N_0)) + Q(sqrt(varepsilon_2/N_0)) $

d. Considerando costante la somma $varepsilon_(Tot) = varepsilon_1+varepsilon_2$ e considerando l'approssimazione della traccia scriviamo:

$P_(TOT)(e)= 1/2 e^(-varepsilon_1/(2 N_0)) - 2((1/2 e^(-varepsilon_1/(2 N_0)))(1/2 e^(-varepsilon_2/(2 N_0)))) + 1/2 e^(-varepsilon_2/(2 N_0))$
$=1/2 e^(-varepsilon_1/(2 N_0)) -1/2 e^(-(varepsilon_1+varepsilon_2)/(2 N_0)) + 1/2 e^(-varepsilon_2/(2 N_0))$

Essendo gli esponenziali decrescenti ottengo la minima probabilità di errore per il più alto valore della somma $varepsilon_1 + varepsilon_2$ quindi per

$varepsilon_1=varepsilon_2=varepsilon$

Risulterà (sempre seguendo l'approssimazione della traccia):

$P_(TOT)(e) = 1/2 e^(-4varepsilon/(2 N_0))$

Davvero gentilissimo

Essendo gli esponenziali decrescenti ottengo la minima probabilità di errore per il più alto valore della somma $varepsilon_1 + varepsilon_2$ quindi per

$varepsilon_1=varepsilon_2=varepsilon$

Ragazzi, qualcuno mi spiega questa parte, in particolare mi sfugge perché il valore più alto della somma si ha per [varepsilon_1=varepsilon_2=varepsilon]

Allora tu hai (dalla traccia) la somma $varepsilon_1+varepsilon_2$ fissata, quindi comunque aumenti una delle due l'altra decrescerà in modo proporzionale.

Per la probabilità di errore arriviamo alla fine, seguendo le approssimazioni consigliate dalla traccia, a
$=1/2 e^(-varepsilon_1/(2 N_0)) -1/2 e^(-(varepsilon_1+varepsilon_2)/(2 N_0)) + 1/2 e^(-varepsilon_2/(2 N_0))$

Puoi notare che oltre abbiamo tre esponenziali: il primo avente la somma all'esponente, quindi ininfluente (nel senso che su di esso non possiamo operare visto che la somma è fissata); il secondo con $varepsilon_1$ ed il terzo con $varepsilon_2$. Gli esponenziali sono decrescenti (c'è il segno meno all'esponente) quindi la probabilità di errore diminuisce all'aumentare dell'energia. Ora come ottenere in entrambi il massimo valore possibile? Visto che la somma è fissata, dividendo il valore totale per 2 e assegnandone una metà ad $varepsilon_1$ ed un'altra metà a $varepsilon_2$

PS l'inghippo sta nel fatto che se modifichi un'energia, l'altra varia in modo lineare, ma la probabilità di errore si modifica in modo esponenziale appunto.

Spero di aver chiarito i tuoi dubbi

La probabilità totale, alla fine, a me viene $ P_(TOT) = e^(-(epsilon/(2N_0)))*(1-1/2 e^(-(epsilon/(2N_0)))) $