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La traccia si trova qui
QUESITO 3
Praticamente quello che viene richiesto è lo spettro di un segnale modulato d'angolo con $W = f_1$ e $beta = A_1$
$u(t) = A_0 sin(2pif_0t + A_1sin(2pif_1t))$
Attenzione che qui c'è un seno, e non un coseno!
$u(t) = Im[A_0e^(2pif_0t)e^(A_1sin(2pif_1t))]$
E da qui poi si fa tutto il discorso per ricavare la sommatoria, passando per la funzione di Bessel. Basta ricordarsi che c'è un seno al posto del coseno, per cui si ragiona usando la parte immaginaria e non quella reale!
Il risultato finale è
$u(t) = sum_{n=-oo}^{+oo} A_0 J_n(A_1) sin(2pif_0t + 2pi n f_1 t)$
Che è una somma infinita di sinusoidi spaziate in frequenza della quantità $f_1$
Adesso, vale la legge di Carson che ci dice che:
$B_c = 2*(beta+1)W$
Dove $B_c$ è la banda (monolatera) di $u(t)$ che contiene il 98% della potenza totale del segnale. Questa legge, insieme al ragionamento sul fatto che per $n rightarrow oo$ $J_n(beta) = 0$ ci permette di dire con sicurezza che ci basta considerare soltanto 2N+1 sinusoidi tali che
$u(t) = sum_{n=N}^{+N} A_0 J_n(A_1) sin(2pif_0t + 2pi n f_1 t)$
Dove N è dato da:
$2N + 1 = M_c = 2└beta┘ + 3 $
$N = └beta┘ + 1 = └A_1┘ + 1$
Per cui:
$u(t) = sum_{n=-└A_1┘ - 1}^{└A_1┘ + 1} A_0 J_n(A_1) sin(2pif_0t + 2pi n f_1 t)$
QUESITO 4
La segnalazione è sostanzialmente un PAM a 3 segnali. La base è una generica base del tipo $psi(t) = (s(t))/sqrt(E)$
La costellazione è facile da disegnare, i 3 vettori sono:
$s_1 = -sqrt(E)$
$s_2 = 0$
$s_3 = sqrt(E)$
Dato che i segnali sono equiprobabili il ricevitore ottimo adotta un criterio a distanza minima, quindi le soglie sono banalmente
$r {:(s_2),(>),(<),(s_1):} -sqrt(E)/2$
E poi
$r {:(s_3),(>),(<),(s_2):} sqrt(E)/2$
Adesso è agevole calcolare la probabilità d'errore. Io consiglio di svolgere per bene gli integrali, comunque per semplicità scrivo direttamente
$P(e|s_1) = Q(sqrt(E/(2N_0)))$
$P(e|s_2) = 2Q(sqrt(E/(2N_0)))$
$P(e|s_3) = Q(sqrt(E/(2N_0)))$
$P_(M1) = 4/3 Q(sqrt(E/(2N_0)))$
Adesso, l'energia media è
$E_(av) = (2E)/3$
E quindi l'SNR medio è
$gamma_(av) = (2E)/(3N_0)$
Per cui la probabilità d'errore si può riscrivere
$P_(M1) = 4/3 Q(sqrt(3/4 gamma_(av)))$
Al punto successivo la cosa si fa particolare: sparisce il segnale $s_2(t)$, ma le soglie non cambiano! Rimangono le stesse che abbiamo trovato precedentemente in quanto stiamo usando lo stesso ricevitore.
L'SNR medio in queste condizioni vale:
$gamma = E_(av)/N_0 = E/N_0$
Non c'è bisogno di ricalcolare le probabilità d'errore perchè, essendo le soglie sempre le stesse, anche le probabilità d'errore $P(e|s_1)$ e $P(e|s_3)$ sono le stesse.
$P_(M2) = 1/2 [P(e|s_1) + P(e|s_3)] = Q(sqrt(E/(2N_0))) = Q(sqrt(gamma/2))$
Adesso facciamo un confronto tra queste due probabilità d'errore.
La funzione Q è decrescente, ed ha una maggiore pendenza per i valori nell'intorno di 0 e una minore pendenza ai valori più distanti. A basso SNR, pertanto, le due probabilità d'errore, $P_(M1)$ e $P_(M2)$, sono comparabili in quanto, anche se il valore della Q presente in PM1 è minore, questo è moltiplicato per un fattore 4/3 che nella PM2 non è presente.
Per alto SNR, l'argomento della Q si trova molto lontano da 0, pertanto i fattori moltiplicativi (3/4 per la Q in PM1 e 1/2 per la Q in PM2) sono trascurabili, perciò i valori delle Q si possono considerare simili. A questo punto si può affermare che, dato che PM1 possiede il fattore moltiplicativo 4/3 fuori dalla Q, per alto SNR $P_(M1) > P_(M2)$.
Quindi, eliminando un segnale, abbiamo ottenuto una riduzione nella probabilità d'errore, ma questo a scapito di una riduzione nel bitrate.
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una cosa nn mi trovo (oltre al fatto che hai scritto P(e|s2) invece che P(e|s3)) per snr bassi PM1->2/3 e PM2->1/2 quindi nn dovrebbe convenire PM2? invece per snr alti PM1=PM2->0 e quindi nn cambia nnt....
) dovrebbero essere una conferma dall'alto che il mio ragionamento, anche se magari un pò scorretto, comunque va nella giusta direzione.
