[TRACCIA] FAST 1 24/02/2011

Ecco la traccia del 24 febbraio 2011

...raga ma chi l'ha fatto il quarto esx, quello sul digitale, può dire come l'ha svolto???????

Qualcuno potrebbe postare lo svolgimento dei primi due quesiti???? GRAZIE!!!!!!!

Nessuno

Innanzitutto din87, non aprire altri topic su sta traccia, ne basta e avanza uno!

Prendete il tutto col beneficio dell'inventario, sta roba non la tocco da tanto tempo...
1) sistema non lineare (i sistemi con una risposta libera diversa da 0 non sono lineari); tempo variante (dipende da 3t); non causale; non stabile; invertibile. Il sistema inverso si può ricavare ponendo $tau=3t$ per poi invertire l'equazione della relazione I-U.
Dovrebbe uscire $y^-1(tau)=e^(-tau/3)x(tau/3)u(-tau/3)$

2) Quello è un'ARMA. Per calcolare la risposta impulsiva cfr. pagina 98 del Conte. Il sistema è a riposo quindi per $n<0 => h(n)=0$.
Per $n=0 => h(0)=1/4h(-1)+2delta(0)=2$
Per $n=1 => h(1)=1/4h(0)+2delta(1)=1/2$
Per $n=2 => h(2)=1/4h(1)+2delta(2)=1/8$
Per $n=3 => h(3)=1/4h(2)+2delta(3)=1/32$

e così via...

Da qui si ricava $h(n)= (1/2)^(2n-1) u(n)$ ... Poi dovete calcolare la trasformata (ve lo fate voi ) che sarà la $H(nu)$ che poi moltiplicherete per $X(nu)$ trasformata dell'ingresso coseno per avere l'uscita $Y(nu)$

A me la risposta impulsiva al secondo esercizio veniva:
$h(n) = 2 (1/4)^n u(n)$ e la $H(nu)$ si ricava facilmente dalla trasformazione notevole:
$a^n u(n) -> 1/(1-a e^(-j2 pi nu))$

beh è la stessa cosa io l'ho scritta sopra in una forma compatta con esponente unico. Difatti
$(1/2)^(2n-1)=2 (1/2)^(2n)=2(1/4)^n$

sinceramente non ricordavo la FT di una sequenza unilatera
Quindi $H(nu) = 2/(1-1/4 e^(-j2 pi nu))$

Per quanto riguarda il primo quesito io mi trovo che il sistema è causale, stabile e non invertibile.

chiedete ai prof. sulle proprietà perchè davvero è roba che personalmente non tocco da tempo.
Casualità, mmh, per t>0 il sistema ha uscita 0, e quindi per ogni istante precedente all'istante di osservazione il sistema si comporta casualmente. Ma su tutto t no, benchè a posteriori sai che $u(-t)=0$ per $t>0$. Per me non è casuale.
Stabilità, anche qui credo di no, c'è una risposta libera (quel +2) che non limita superiormente l'uscita a qualsiasi ingresso. Per me non è stabile BIBO.
Invertibilità, boh io ho fatto solo il conto matematico, però il sistema è tempo continuo e l'ingresso è preso per ogni istante triplo, quindi mi sa che hai ragione tu...
Cmq chi può chieda a chid i dovere e si fuga ogni dubbio.

Sul secondo pensandoci, essendo l'ingresso un coseno (quindi per Eulero due esponenziali), è autofunzione del sistema, si può fare con la trasformata zeta!