scusate nell'endomorfismo quando si deve vedere se fi è diagonalizzabile,la molteplicità algebrica e quella geometrica come si trovano?a cosa sono uguali? mi potete fare un esempio per capire meglio?grazie
per sapere se una matrice è diagonalizzabile bisogna in primo luogo trovare il polinomio caratteristico; detto praticamente bisogna sottrarre -lambda alla diagonale della matrice e calcolare il determinante della stessa..
un esempio può essere la matrice
(1-L) ..2 ..0
..0 .(3-L) ..0
..2 ..-4 ..(2-L)
in cui le soluzioni del polinomio caratteristico sono 3, 2 e 1. Sono quindi tre autovalori distinti con molteplicità algebrica uguale a 1. Di conseguenza se lo spazio ambiente è $ R^3 $ la matrice è diagonalizzabile.
Se invece dei tre valori distinti si fossero trovate 2 soluzioni uguali e coincidenti (ad esempio 2,2) la molteplicità algebrica sarebbe stata uguale a 2 quindi per dire se è diagonalizzabile bisogna verificare che coincida con la molteplicità geometrica. Ovvero che la dimensione dell'autospazio ottenuto assegnando il valore 2 (in questo caso) alla lambda, abbia dimensione 2.
ad esempio se in una matrice
1 2 3
1 2 3
1 2 3
si trovassero due autovalori uguali e coincidenti (2,2) per verificare che fosse diagonalizzabile bisognerebbe sottrarre -2 sulla sua diagonale e quindi diventerebbe
(1-2) ..2 ..3
..1 .(2-2) ..3
..1 .. 2 ..(3-2)
se quindi la dimensione della suddetta matrice si trovasse uguale a 2 allora la matrice sarebbe diagonalizzabile..
spero di essere stato chiaro