Corsi di Laurea

[Blackjack]

sto sbattendo la testa su questo esercizio del 12/06/06, ve lo propongo nella speranza che qualche anima pia mi aiuti a capire dov'è che sbaglio... allego anche l'immagine del sistema

TRACCIA:
Si consideri il sistema, riportato in figura, costituito da tre corpi di masse mR, mC e mB. Il corpo di massa mR è un rocchetto cilindrico (cilindro pieno) di raggio R ed è inizialmente posto nel punto medio di un piano, inclinato di un angolo θ rispetto all’orizzontale e lungo L. Il corpo di massa mC è una carrucola cilindrica di raggio r libera di ruotare, senza attrito, attorno al proprio asse. Il corpo di massa mB , infine, funge da contrappeso per il rocchetto ed è collegato a quest’ultimo mediante un filo inestensibile e di massa trascurabile, che può avvolgersi sul rocchetto stesso.
Il sistema, lasciato da fermo, evolve in maniera da far scendere il rocchetto sul piano inclinato con un moto di puro rotolamento.


Allora, il problema è quando mi chiede di trovare la formula per trovare l'accelerazione del rocchetto. Come è anche scritto nello svolgimento "ufficiale", applico la conservazione dell'energia meccanica:

$ ΔU = -ΔK \rightarrow 1/2I_r ω_r^2 + 1/2I_c ω_c^2 + 1/2m_bV^2 = ((m_r sinθ)/2 - m_b)gy $

mettendo in evidenza 1/2 e applicando $V = ω_r * R = ω_c * r $ e le formule del momento d'inerzia $I_r = 3/2m_r R^2, I_c = 1/2 m_c r^2 $ :

$ \rightarrow 1/2(3/2m_r R^2*V^2/R^2 + 1/2m_c r^2*V^2/r^2 + m_b*V^2) = ((m_r sinθ)/2 - m_b)gy \rightarrow $

$ \rightarrow 1/2V^2(3/2m_r + 1/2m_c + m_ = ((m_r sinθ)/2 - m_b)gy \rightarrow $

e fin qui mi trovo... poi:

$ \rightarrow V^2 = 2*(((m_r sinθ)/2 - m_b)gy)/(3/2m_r + 1/2m_c + m_ \rightarrow $

moltiplicando entrambi i membri per a (l'accelerazione):

$ \rightarrow V^2a = 2*(((m_r sinθ)/2 - m_b)g)/(3/2m_r + 1/2m_c + m_ *y*a\rightarrow $

$ \rightarrow V^2a = 2*(((m_r sinθ)/2 - m_b)g)/(3/2m_r + 1/2m_c + m_ *(V^2)/2\rightarrow $

tolgo $V^2$ ad entrambi i membri e semplifico i termini *2 e /2 ed ottengo:

$ \rightarrow a = ((m_r sinθ)/2 - m_b)/(3/2m_r + 1/2m_c + m_ *g $

la formula che mi esce dovrebbe avere qualche errore che non ho capito; comunque, nello svolgimento ufficiale la formula è:

$ a = ((m_r sinθ)/2 - m_b)/(3/8m_r + 1/2m_c + m_ *g $


da notare quel 3/8 moltiplicato per mr... perchè da 3/2 si è misteriosamente trasformato in 3/8, lasciando poi tralaltro inaterati tutti gli altri coefficienti? sulla soluzione non c'è scritto nulla a riguardo, dà direttamente la formula!

vi prego aiuto!

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[Blackjack]

up

ho parzialmente risolto il problema, adesso manca da capire perchè un 3/2 si trasforma in un 3/8...

[pimp_one]

secondo me si incasina tanto usando la conservazione dell'energia, con il diagramma delle forze dovrebbe essere molto + facile mettendo le relative tensioni
Ora c provo

[antonioforlenza]

Il problema sta quando vai a considerare la velocità angolare del tuo disco che rotola... Infatti V è la velocità assunta dal punto legato alla fune che dista 2 R dalla traccia istantanea dell'asse di rotazione (il punto di contatto)... Quindi devi scrivere che omega^2=V^2/(2R)^2... Da qui ti uscirà un quattro al denominatore che moltiplicato per il 2 ti darà il fatidico 8... spero di non aver sbagliato la considerazione...

Infatti, nella rotazione la velocità angolare è uguale alla velocità tangenziale divisa per la distanza dal centro di rotazione; poichè nel rotolamento il centro di rotazione, almeno nell'infinitesimo, è il punto di contatto, la distanza sarà 2R e non R...