Corsi di Laurea

[N.8]

TRACCIA

Quesito 3:

a) Per la modulazione SSB abbiamo che l'SNR in uscita è dato da:

$(S/N)_{o, SSB} = P_R/(N_0W) = P_R*10^8 >= 10^(2,6)$ $(26dB)$

quindi:

$P_R >= 10^(-5,4)$ $(= P_(R_min))$

La minima potenza in trasmissione si ha per la minima potenza ricevuta, ovvero:

$P_(T_min)=L*P_(R_min)=10^7 * 10^(-5,4) = 10^(1,6) ~~ 39,8$ Watt

Per la modulazione AM abbiamo che l'SNR in uscita è dato da:

$(S/N)_{o,AM}=(a^2P_(M_n))/(1+a^2P_(M_n))(S/N)_(bb)=(a^2P_(M_n))/(1+a^2P_(M_n))P_R/(N_0W)=(49/349)P_R*10^8>= 10^(2,6)$ $(26dB)$

quindi:

$P_R >=(349/49)*10^(2,6)*10^-8 = (349/49)*10^(-5,4)$$(= P_(R_min))$

La minima potenza in trasmissione si ha per la minima potenza ricevuta:

$P_(T_min)=L*P_(R_min)=10^7 * (349/49)*10^(-5,4)=(349/49)*10^(1,6)~~283,5$ Watt

c) Per la modulazione FM abbiamo che la banda passante è di 90 KHz; utilizzando la regola di Carson abbiamo che:

$B_c=2W(beta_f +1)<=B rArr beta_{f} <= 3,5$

Quindi gli indici di modulazione consentiti sono 2 e 3.
L'SNR in uscita è:

$(S/N)_{o,FM}=(S/N)_{bb} 3beta_{f}^2P_(M_n)=3beta_{f}^2P_(M_n)P_R/(N_0W)=beta_{f}^2P_R*10^8>=10^(2,6) (26dB)$

quindi:

$P_R>= 1/beta_{f}^2 *10^(-5,4)$ $(= P_(R_min))$

La minima potenza in trasmissione si ha per la minima potenza ricevuta:

$P_(T_min)=L*P_(R_min)=10^7*10^(-5,4)*1/beta_{f}^2=1/beta_{f}^2*10^(1,6)=$
$=9,9$ Watt per $beta_{f}=2$
$=4,4$ Watt per $beta_{f}=3$

Quesito 4:

a) Base ortonormale per lo spazio dei segnali:

Per prima cosa calcoliamo l'energia dei 5 segnali:

$varepsilon_{1}=int_{0}^{T}A^2sin^2((2pit)/T)\dt=(A^2T)/2$
$varepsilon_{2}=0$
$varepsilon_{3}=varepsilon_{1}=(A^2T)/2$
$varepsilon_{4}=varepsilon_{1}=(A^2T)/2$
$varepsilon_{5}=varepsilon_{1}=(A^2T)/2$

Utilizziamo ora la procedura di Gram-Shmidt:

$Psi_{1}= (s_{1}(t))/sqrt(varepsilon_{1})=(Asin((2pit)/T))/(Asqrt{T}/sqrt{2})=sqrt{2}/sqrt{T}sin((2pit)/T)$ per $0<=t<=T$

Calcoliamo la proiezione di s2(t) su s1(t):

$c_{21}=int_{-oo}^{+oo}s_{2}(t)*Psi_{1}(t)\dt=0$

Calcoliamo la proiezione di s3(t) su s1(t):

$c_{31}=int_{-oo}^{+oo}s_{3}(t)*Psi_{1}(t)\dt=-A*sqrt{2}/sqrt{T}int_{0}^{T/2}sin^2((2pit)/T)\dt+A*sqrt{2}/sqrt{T}int_{T/2}^{T}sin^2((2pit)/T)\dt=0$

$Psi_{3}= (s_{3}(t))/sqrt(varepsilon_{3})= -(sqrt{2}/(A*sqrt{T}))*|s_{1}(t)|={(-sqrt(2)/sqrt(T)*sin((2pit)/T), \ \ \ \text{se} \ \0<=t<=T/2),(\ ,\ ),(sqrt(2)/sqrt(T)*sin((2pit)/T), \ \ \ \text{se} \ \T/2<=t<=T):}

Calcoliamo la proiezione di s4(t) su s1(t):

$c_{41}=-int_{0}^{T}A*sin((2pit)/T)*sqrt(2)/sqrt(T)*sin((2pit)/T)\dt=-Asqrt(2)/sqrt(T)*T/2=-Asqrt(2)/sqrt(T)$

Calcoliamo la proiezione di s4(t) su s3(t):

$c_{43}=int_{0}^{T/2}A*sin((2pit)/T)*sqrt(2)/sqrt(T)*sin((2pit)/T)\dt-int_{T/2}^{T}A*sin((2pit)/T)*sqrt(2)/sqrt(T)*sin((2pit)/T)\dt=0$

$d_{4}(t)=s_{4}(t)-c_{41}*Psi_{1}(t)=s_{4}(t)+A*sqrt(T)/sqrt(2)*sqrt{2}/(Asqrt{T})= -s_{1}(t)+s_{1}(t)=0$

$Psi_{4}(t)=d_{4}/sqrt(varepsilon_{4})=0$

Proiezione di s5(t) su s3(t):

$c_{53}=-A*sqrt(T)/sqrt(2)$

La rappresentazione vettoriale dei segnali è la seguente:

$S_{1}=(Asqrt(T)/sqrt(2);0)$
$S_{2}=(0;0)$
$S_{3}=(0;Asqrt(T)/sqrt(2))$
$S_{4}=(-Asqrt(T)/sqrt(2);0)$
$S_{5}=(0;-Asqrt(T)/sqrt(2))$

Costellazione dei segnali:
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c) Struttura del ricevitore ottimo e relative regioni di decisione:
 IMG.jpg   13,27K   1966 Download

I 5 messaggi sono equiprobabili, questo vuol dire che:
$P(s_1)=P(s_2)=P(s_3)=P(s_4)=P(s_5)= 1/5$

Le PDF condizionali sono:

$f(r|S_1)= 1/(pi*N_0)*e^{(-(r_1-Asqrt(T)/sqrt(2))^2+r_2^2)/N_0}$
$f(r|S_2)= 1/(pi*N_0)*e^{-(r_1^2+r_2^2)/N_0}$
$f(r|S_3)= 1/(pi*N_0)*e^{-(r_2^2+(r_1-Asqrt(T)/sqrt(2))^2)/N_0}$
$f(r|S_4)= 1/(pi*N_0)*e^{(-(r_1+Asqrt(T)/sqrt(2))^2+r_2^2)/N_0}$
$f(r|S_5)= 1/(pi*N_0)*e^{-(r_2^2+(r_1+Asqrt(T)/sqrt(2))^2)/N_0}$

Valore di soglia tra S1 e S2:

$f(r|S_1)/f(r|S_2){:(S_1),(>),(<),(S_2):}(P(s_2))/(P(s_1))$$=>$$r_1{:(S_1),(>),(<),(S_2):}A/2sqrt(T)/sqrt(2)$

Valore di soglia tra S1 e S3:

$f(r|S_1)/f(r|S_3){:(S_1),(>),(<),(S_3):}(P(s_3))/(P(s_1))$$=>$$r_1{:(S_1),(>),(<),(S_3):}r_2$

Valore di soglia tra S1 e S4:

$f(r|S_1)/f(r|S_4){:(S_1),(>),(<),(S_4):}(P(s_4))/(P(s_1))$$=>$$r_1{:(S_1),(>),(<),(S_4):}0$

Valore di soglia tra S1 e S5:

$f(r|S_1)/f(r|S_5){:(S_1),(>),(<),(S_5):}(P(s_5))/(P(s_1))$$=>$$r_2{:(S_1),(>),(<),(S_5):}A/2sqrt(T)/sqrt(2)$

Valore di soglia tra S2 e S3:

$f(r|S_2)/f(r|S_3){:(S_2),(>),(<),(S_3):}(P(s_3))/(P(s_2))$$=>$$r_2{:(S_2),(>),(<),(S_3):}A/2sqrt(T)/sqrt(2)$

Valore di soglia tra S2 e S4:

$f(r|S_2)/f(r|S_4){:(S_2),(>),(<),(S_4):}(P(s_4))/(P(s_2))$$=>$$r_1{:(S_2),(>),(<),(S_4):}-A/2sqrt(T)/sqrt(2)$

Valore di soglia tra S2 e S5:

$f(r|S_2)/f(r|S_5){:(S_2),(>),(<),(S_5):}(P(s_5))/(P(s_2))$$=>$$r_2{:(S_2),(>),(<),(S_5):}-A/2sqrt(T)/sqrt(2)$

Valore di soglia tra S3 e S4:

$f(r|S_3)/f(r|S_4){:(S_3),(>),(<),(S_4):}(P(s_4))/(P(s_3))$$=>$$r_1{:(S_3),(>),(<),(S_4):}-r_2$

Valore di soglia tra S3 e S5:

$f(r|S_3)/f(r|S_5){:(S_3),(>),(<),(S_5):}(P(s_5))/(P(s_3))$$=>$$r_2{:(S_3),(>),(<),(S_5):}0$

Valore di soglia tra S4 e S5:

$f(r|S_4)/f(r|S_5){:(S_4),(>),(<),(S_5):}(P(s_5))/(P(s_4))$$=>$$r_2{:(S_4),(>),(<),(S_5):}r_1$

Nel file qui sotto ci sono i grafici dei valori di soglia e delle regioni di decisione
[attachment=0]soglia+regioni.rar[/attachment]

d) La probabilità che si commetta un errore, ovvero che si scelga un segnale piuttosto che un altro, riguarda soltanto i segnali le cui regioni sono contigue. Ad esempio, ricevuto il segnale $ S_1 $, si può commettere un errore e scegliere $ S_2 $, $ S_3 $, oppure $ S_5 $, ma non $ S_4 $.
Le probabilità di errore sono quindi:

$ P(e|S_1) <= Q(\frac{d_{12}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{13}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{15}}{\sqrt{2N_0}}) = $
$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

$ P(e|S_2) <= Q(\frac{d_{12}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{23}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{25}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{25}}{\sqrt{2N_0}}) = $
$ = 4Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

$ P(e|S_3) <= Q(\frac{d_{13}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{23}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{34}}{\sqrt{2N_0}}) = $
$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

$ P(e|S_4) <= Q(\frac{d_{24}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{34}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{45}}{\sqrt{2N_0}}) = $
$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

$ P(e|S_5) <= Q(\frac{d_{15}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{25}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{45}}{\sqrt{2N_0}}) = $
$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

La probabilità di errore per simbolo, utilizzando la tecnica dell'union bound, è:

$ P_M <= \sum_{i=1}^{M} P(S_i) \cdot P(e|S_i) = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{M} P(e|S_i) = $
$ = \frac{8}{5}Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + \frac{8}{5}Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}});

File allegato

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[mib85]

Ottimo! Devi solo correggere un esponente nel punto b che è $ 10^(-5.4) $ e non $ 10^(-5.6) $.
Cmq ho ricontrollato lo svolgimento, e il punto d del quesito 4 è sbagliato.
Non mi è chiaro come si utilizzi l'Union Bound (e neppure come si calcoli la probabilità di errore per simbolo esatta)...
C'è qualche anima pia in grado di darmi (o darci) qualche chiarimento?

[RaFè]

La probabilità per simbolo esatta è quella senza approssimazioni...Perchè non postate anche la traccia scritta con lo script? E' uno scristo aiutarvi quando poi si deve scaricà tutto . Sono pigro.

[N.8]

Eccoti accontentato!!!

[RaFè]

Probabilità d'errore per simbolo con tecnica union bound:

E' la sommatoria su M delle probabilità di errore per ogni simbolo (1/M se equiprobabili) moltiplicate per le relative probabilità condizionate calcolate con la tecnica dell'union bound.

Con l'union bound va prima di tutto graficata la costellazione; in secondo luogo vanno trovate le distanze, dal punto in considerazione a i punti adiacenti (in pratica quelli dei confini della nostra regione considerata).

Alla fine per ogni simbolo avremo tante Q function quante più regioni avremo adiacenti. Ogni Q function sarà, essendo m il punto che stiamo considerando e j quello adiacente

$ Q(d_{mj}/sqrt{2N_o}) $

Nel caso di costellazioni simmetriche avrai tante Q simili che alla fine si sommeranno tra di loro. Le distanze puoi calcolarle con teoremi di pitagora e simili

Purtroppo il concetto è un pò complicato da spiegare su un forum.

[mib85]

Il punto d dovrebbe essere così:

d) La probabilità che si commetta un errore, ovvero che si scelga un segnale piuttosto che un altro, riguarda soltanto i segnali le cui regioni sono contigue. Ad esempio, ricevuto il segnale $ S_1 $, si può commettere un errore e scegliere $ S_2 $, $ S_3 $, oppure $ S_5 $, ma non $ S_4 $.
Le probabilità di errore sono quindi:

$ P(e|S_1) <= Q(\frac{d_{12}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{13}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{15}}{\sqrt{2N_0}}) = $
$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

$ P(e|S_2) <= Q(\frac{d_{12}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{23}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{25}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{25}}{\sqrt{2N_0}}) = $
$ = 4Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

$ P(e|S_3) <= Q(\frac{d_{13}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{23}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{34}}{\sqrt{2N_0}}) = $
$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

$ P(e|S_4) <= Q(\frac{d_{24}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{34}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{45}}{\sqrt{2N_0}}) = $
$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

$ P(e|S_5) <= Q(\frac{d_{15}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{25}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{45}}{\sqrt{2N_0}}) = $
$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

La probabilità di errore per simbolo, utilizzando la tecnica dell'union bound, è:

$ P_M <= \sum_{i=1}^{M} P(S_i) \cdot P(e|S_i) = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{M} P(e|S_i) = $
$ = \frac{8}{5}Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + \frac{8}{5}Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $



SORGENTE:

[b]d)[/b] La probabilità che si commetta un errore, ovvero che si scelga un segnale piuttosto che un altro, riguarda soltanto i segnali le cui regioni sono contigue. Ad esempio, ricevuto il segnale \$ S_1 \$, si può commettere un errore e scegliere \$ S_2 \$, \$ S_3 \$, oppure \$ S_5 \$, ma non  \$ S_4 \$.

Le probabilità di errore sono quindi:



\$ P(e|S_1) <= Q(\frac{d_{12}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{13}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{15}}{\sqrt{2N_0}}) = \$

\$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) \$



\$ P(e|S_2) <= Q(\frac{d_{12}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{23}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{25}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{25}}{\sqrt{2N_0}}) = \$

\$ = 4Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) \$



\$ P(e|S_3) <= Q(\frac{d_{13}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{23}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{34}}{\sqrt{2N_0}}) = \$

\$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) \$



\$ P(e|S_4) <= Q(\frac{d_{24}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{34}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{45}}{\sqrt{2N_0}}) = \$

\$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) \$



\$ P(e|S_5) <= Q(\frac{d_{15}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{25}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{45}}{\sqrt{2N_0}}) = \$

\$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) \$



La probabilità di errore per simbolo, utilizzando la tecnica dell'union bound, è:



\$ P_M <= \sum_{i=1}^{M} P(S_i) \cdot P(e|S_i) = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{M} P(e|S_i) = \$

\$ = \frac{8}{5}Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + \frac{8}{5}Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}});

[Chaos88]

Mi intrometto chiedendo, la base ortonormale non può essere calcolata in modo grafico? Se si all'esame come è conveniente operare? In questo caso mi eviterei un bel pò di conti con Gram-Schmidt!

[d-Enzo]

Mi intrometto chiedendo, la base ortonormale non può essere calcolata in modo grafico? Se si all'esame come è conveniente operare? In questo caso mi eviterei un bel pò di conti con Gram-Schmidt!

Mi pare chiaro che se è possibile trovarne una per via grafica usi quella base...
in questo caso (cioè i seni tra $ 0 <= t <=T$)

$Psi_1 = sqrt 2/sqrt T sin((2 pi t)/T) AA 0 <= t <=T/2$
$Psi_2 = - sqrt 2/ sqrt T sin((2 pi t)/T) AA T/2 <= t <=T$

[Peppeweb]

Mi intrometto chiedendo, la base ortonormale non può essere calcolata in modo grafico? Se si all'esame come è conveniente operare? In questo caso mi eviterei un bel pò di conti con Gram-Schmidt!

Mi pare chiaro che se è possibile trovarne una per via grafica usi quella base...
in questo caso (cioè i seni tra $ 0 <= t <=T$)

$Psi_1 = sqrt 2/sqrt T sin((2 pi t)/T) AA 0 <= t <=T/2$
$Psi_2 = - sqrt 2/ sqrt T sin((2 pi t)/T) AA T/2 <= t <=T$

il metodo di G-S va utilizato se espressamente richiesto nel testo
dell'esercizio, altrimenti qualsiasi metodo per individuare una base
va bene.
Saluti,

Roberto Conte

[Peppeweb]

Mi intrometto chiedendo, la base ortonormale non può essere calcolata in modo grafico? Se si all'esame come è conveniente operare? In questo caso mi eviterei un bel pò di conti con Gram-Schmidt!

Mi pare chiaro che se è possibile trovarne una per via grafica usi quella base...
in questo caso (cioè i seni tra $ 0 <= t <=T$)

$Psi_1 = sqrt 2/sqrt T sin((2 pi t)/T) AA 0 <= t <=T/2$
$Psi_2 = - sqrt 2/ sqrt T sin((2 pi t)/T) AA T/2 <= t <=T$

Con il metodo ad occhio i versori trovati vanno normalizzati rispetto alla loro energia, quindi dovrebbe essere $ sqrt 4/ sqrt T

Enzo ti trovi?

[d-Enzo]

hai ragione, è $2/ sqrt T$
ho fatto un conto a mente per il fattore d'ampiezza

[caputo88]

Salve ragazzi.

In questo esercizio tramite la tecnica di Gram-Schmidt si calcola che la base ortonormale è costituita da due funzioni di base, e di conseguenza la segnalazione è bidimensionale. Ma mi sorge un dubbio: essendo i segnali tra di loro tutti dipendenti, la segnalazione non dovrebbe essere unidimensionale?? (cioè avere solo una funzione di base)

grazie per le risposte

EDIT: poi sinceramente non ho capito come si fanno a calcolare le basi in maniera grafica. Se per piacere qualcuno mi illumina. grazie mille

[d-Enzo]

Salve ragazzi.

In questo esercizio tramite la tecnica di Gram-Schmidt si calcola che la base ortonormale è costituita da due funzioni di base, e di conseguenza la segnalazione è bidimensionale. Ma mi sorge un dubbio: essendo i segnali tra di loro tutti dipendenti, la segnalazione non dovrebbe essere unidimensionale?? (cioè avere solo una funzione di base)

grazie per le risposte

EDIT: poi sinceramente non ho capito come si fanno a calcolare le basi in maniera grafica. Se per piacere qualcuno mi illumina. grazie mille

Se fossero dipendenti dovrebbero giacere sulla stessa retta qualunque base ortonormale scegli, in questo caso non è così

La via grafica è praticamente utilizzata quando i segnali sono onde periodiche (seni, quadre...) e si usano come versori i periodi o i semiperiodi. IN questo caso con i seni la base per via grafica è composto da due versori, il primo con un seno tra 0 e T/2 (opportunamente scalato per renderlo di energia unitaria), il secondo tra T/2 e T.

[mercurio]

ragazzi per quanto riguarda il quesito 3.c anke beta_{f}= 3 nn dovrebbe andare bene, o mi sbaglio???


con beta_{f}=2 risulta (S/N)_{th2}=3*4*(1/3)*20*(2+1)=240<10^2.6, per cui il limite è rispettato

con beta_{f}=3 risulta (S/N)_{th3}=3*9*(1/3)*20*(3+1)=720>10^2.6, quindi il limite non è rispettato.

Quindi l'unico valore di beta_{f} è 2. Mi sbaglio????

[uomocheride]

si, anche io mi trovo che l'unico valore di beta accettabile sia 2 per lo stesso motivo che hai postato tu.

[mercurio]

si, anche io mi trovo che l'unico valore di beta accettabile sia 2 per lo stesso motivo che hai postato tu.

meno male