Corsi di Laurea

[da`]

salve, sto studiando l'equazioni di Helmholtz.

in sostanza arriviamo ad un punto in cui abbiamo

$ (1/f) (d^2f)/(dx^2) + (1/g) (d^2g)/(dy^2) + (1/h) (d^2h)/(dz^2) + beta^2 = 0 $

a questo punto il Prof ha detto che questi termini sono costanti, ma non so il perchè.
Presumo perchè, dovendo valere per ogni x y z , debbano essere necessariamente costanti, ma non ne sono sicuro ...

mi ritrovo poi una non ben precisata citazione alla condizione di separabilità, che dovrebbe dipendere, o dovrebbe essere dimostrata da:
$ beta_x^2 + beta_y^2 + beta_z^2 = beta^2 $

poi si prosegue con la scrittura delle 3 equazioni differenziali per le 3 componenti e via dicendo ...
qualcuno sa darmi delucidazioni sui punti a me oscuri?
grazie

[Frankie]

Vedendo l'equazione posso dirti che sono costanti perchè la somma di tre termini deve uguagliare una costante $ -beta^2 $
infatti l'equazione può essere scritta come

$ (1/f) (d^2f)/(dx^2) + (1/g) (d^2g)/(dy^2) + (1/h) (d^2h)/(dz^2) = - beta^2 $

e affinchè la somma dei tre termini sia costante ognuno di questi termini deve essere costante....Spero di aver chiarito qst tuo dubbio

[silvja]

$ (1/f) (d^2f)/(dx^2) + (1/g) (d^2g)/(dy^2) + (1/h) (d^2h)/(dz^2) + beta^2 = 0 $

$(1/f) (d^2f)/(dx^2) $è costante rispetto a y e a z essendo solo funzione di x, ma è anke costante rispetto ad x perchè facendo la derivata rispetto ad x di tutta l'equazione, si ha:
$d [(1/f) (d^2f)/(dx^2) + (1/g) (d^2g)/(dy^2) + (1/h) (d^2h)/(dz^2) + beta^2]/dx=0 $
abbiamo che
$d[(1/g) (d^2g)/(dy^2)]/dx=0 $
$d[(1/h) (d^2h)/(dz^2)]/dx=0$
$d[beta^2]/dx=0$
quindi:
$d [(1/f) (d^2f)/(dx^2)]/dx=0 $
cioè significa che
$(1/f) (d^2f)/(dx^2) $ è costante rispetto a x e la costante è $-(kx)^2$
Si fa lo stesso discorso per gli altri due terminiderivando prima rispetto y e poi z, ottenendo:
$ (1/g) (d^2g)/(dy^2)=-(ky)^2 $ e $(1/h) (d^2h)/(dz^2)=-(kz)^2$
Quindi si ha la condizione di separabilità andando a sostituire le costanti nell'eq. iniziale:
$(kx)^2+(ky)^2+(Kz)^2 = beta^2$

Spero di essere stata chiara.

[da`]

grazie mille, sei stata chiarissima.