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Fratti semplici!


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Questa discussione ha avuto 5 risposta/e

#1
frenk8

frenk8

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Scusate ho difficoltà a capire come bisogna scomporre una frazione con il metodo dei fratti semplici in un integrale. Praticamente non ci ho capito niente, non so se per lacune mie o del corso perchè mi sembra che durante le lezioni non ci abbiano mai dato dei punti da seguire per questo metodo :help:
Chi mi può spiegare come capire quando usarlo, come scomporre il denominatore in base ai vari casi, e come capire anche il numero di parametri (ovvero A, B, C ecc.) da mettere al numeratore? Aiuto grazie!



#2
salvo

salvo

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non so se ho capito bene la domanda, ma credo che tu ti riferisca quando si ha un' integrale di una funzione fratta cioè Y=n(x)/d(x), per esempio
int (x^3-3X-x+1)/(x^2-x-2)dx.
se è questo il caso a cui tu ti riferisci fammi sapere che ti scrivo come devi fare per bene in modo che lo capisci meglio ciao

#3
frenk8

frenk8

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Si è questo il caso che dico io grazie. Cercando un pò su internet ho trovato delle indicazione ma sono abbastanza discordanti, ad esempio alcune fanno distinzione se il grado del numeratore è maggiore, uguale o minore di quello del denominatore, altri forum invece no. Quindi in conclusione di questa "tecnica" non ci ho capito pressochè niente, cioè quando seguivo gli esercizi in aula capivo i procedimenti successivi, ma ciò che mi manca è saper impostare la scomposizione iniziale da solo..ovvero il 90% del lavoro :/ Come scritto prima, non ho capito in base a cosa scomporre il denominatore e come (xkè in certi esercizi non era una semplice fattorizzazione, poi se vuoi ti allego un esempio a cui mi riferisco), nè secondo quale criterio sopra si mette solo Ax+B, o solo A + B o ad esempio in altri casi Ax + B nel primo fattore e Cx + D nell'altro che esce dalla scomposizione...Volevo capire quale era la procedure generale diciamo da seguire per poter applicare questo metodo in modo esatto quando mi trovo di fronte equazioni del genere (e quali sono le differenze da fare quando variano i gradi di numeratore e denominatore). Grazie per l'aiuto :)

#4
salvo

salvo

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Allora come ti dicevo, per quanto riguarda le funzioni razionali bisogna considerare 4 passaggi, di cui il primo solo in certi casi, e cioè quando il grado del denominatore è < o = al numeratore.
Prendiamo come esempio quello che ho scritto prima:

int (X^3-3x-1)/(x^2-x-1)dx >>>>>>>>> in questo caso procediamo con i passaggi di cui ti parlavo e cioè:
1) FARE LA DIVISIONE TRA I POLINOMI! "questo puoi farlo solo se il grado del denominatore è,come ti dicevo prima al grado del numeratore.

2) FATTORIZZAZIONE DEL DENOMINATORE;

3)DECOMPORRE LA FRAZIONE IN FRATTI SEMPLICI: esistono più modi per fattorizzare il denominatore, ma in certi
casi arrivi ad un punto dove non puoi più fattorizzare, ed è li che entra in
gioco A B C ecc....

4)INTEGRARE I FATTORI DECOMPOSTI.

risolviamo l'integrale:

siccome il grado del denominatore è minore del grado del numeratore va fatta la divisione:

x^3-3x-1: x^2-x-1 -------> la divisione ci porta i seguenti risultati: quoziente= x+1 e resto= 1

quindi riscriviamo l'integrale come: int(x+1) + 1/(x^2-x-2)dx ------> a questo punto dobbiamo fattorizzare il denominatore, poiché non possiamo fare la
divisione dobbiamo vedere se si può ancora fattorizzare è cioè:

x^2-x-2= (x-2)*(x+1) ----->> fatto questo non possiamo più fattorizzare, per cui
scriviamo come segue:

x^2-x-2= A/(x-2) + B/(x+1) ------>>> fai il mcm "in questo caso li prendi tutti e due,
dividi e moltiplichi ottenendo in fine:

A+B=0
A-2B=1 >>>>>> A= -1/3 e B= 1/3
trovati A e B li vai a sostituire ottenendo -1/3/(x-2) + 1/3/(x+1) che portando fuori i termini noti
otteniamo che l'integrale di partenza risulti:

int(x+1)dx -1/3 int(1/(x-2))dx +1/3 int(1/x+1))dx che risulta un integrale semplice da risolvere.

in definitiva per fattorizzare e per avere quelle A B Bx C D ecc devi tener conto del grado del polinomio, facciamo un esempio

se ho x^3+x, scomponendo ottengo:

x^3+x= x(X^2+1) ---> poichè (x^2+1) non è più scomponibile devo lasciarlo cosi, e quindi quando vado a fattorizzare poichè non è di primo grado devo scrivere:

X^3+x= A/x + Bx+C/(x^2+1) dove Bx+C è in questo caso non una costante ma un polinomio di primo grado, ti faccio un ulteriore esempio che potresti trovare:

X^3-2x^2+x = x(x^2-2x+1)= dove (X^2-2x+1) è un quadrato di binomio e cioè (X-1)^2, in questo caso scriviamo come segue:

X^3-2x^2+x= x(x-1)^2 = A/x + B/(x-1) + C/(x-1)^2 -----> in sintesi quando ti trovi in questi casi cioè con un quadrato di binomio o cubo di binomio ecc...
devi mettere come denominatori prima quello che c'è in parentesi (x-1) e poi il quadrato o il cubo
ecc.. in questo caso (x-1)^2, ti faccio un ulteriore esempio per farti capire meglio:

1/x(x-1)^3 = A/x + B/(x-1) + C/(x-1)^2 + D/(x-1)^3 --------> fare il mcm e continuare
con il procedimento normale per
trovare A,B,C,D.
Non so se sono stato proprio chiaro, ma spero di averti fatto capire come fattorizzare, in realtà le tipologie sono quelle che ti ho descritto, non credo che troverai qualcosa di diverso perchè in quel caso potrai ulteriormente scomporre e ricadere nel caso normale, se hai latri dubbi ho non hai capito qualche passaggio fammi sapere che cercherò di spiegartelo meglio ciao :D :D

#5
LucaMarv

LucaMarv

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Se il grado del numeratore è maggiore o uguale al grado del denominatore, occorre fare la divisione tra polinomi, in modo da scrivere $ (N(x))/(D(x)) $ come $ Q(x)+ (R(x))/(D(x)) $ dove $ Q(x) $ è il quoziente della divisione e $ R(x) $ è il resto della divisione.
Se il grado del numeratore è minore del grado del denominatore, occorre scomporre il denominatore:
se $ D(x) $ è scomponibile in fattori, in generale basta porre $ (A(x))/(F1(x))+(B(x))/(F2(x))+... $, dove $ F1(x), F2(x) $ sono proprio i fattori ad esempio di grado $ n $ e $ A(x), B(x) $ sono polinomi di grado $ n-1 $...in generale vale questa regola, ma se ad esempio hai $ D(x) $ quadrato perfetto, allora scomponi $ D(x) $ come $ (x-a)^2 $, risolvi $ A/(x-a) + B/(x-a)^2 $;
se $ D(x) $ non è scomponibile, allora ahimé bisogna sperare che sia di secondo grado e risolvibile col completamento del quadrato, o che il numeratore possa essere riscritto come derivata del denominatore.

e.g. 1
$ x^3/(x^3-1) $
prima di tutto procedo alla divisione e ho $ 1+1/(x^3-1) $, ora devo scomporre $ x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) $, dove $ x^2+x+1 $ non è ulteriormente scomponibile, quindi, applicando la suddetta regola $ (A(x))/(F1(x))+(B(x))/(F2(x)) $, ho $ A/(x-1) + (Bx+C)/(x^2+x+1) $ risolvo il tutto e trovo A,B e C e faccio l'integrale.

e.g. 2
$ 1/(x^2+x+1) $ ho che il numeratore ha grado minore del denominatore, e che il denominatore non è scomponibile in fattori semplici, quindi cerco di fare il completamento del quadrato, cioè $ x^2 + x +1/4 -1/4 + 1 $, quindi ho $ 3/4 + (x+1/2)^2 $ e lo risolvo come l'arcotangente (sul libro è spiegato bene)

e.g. 3
$ 1/(x^2-2x+1) $ dove il denominatore è un quadrato perfetto $ (x-1)^2 $, quindi passo a risolvere $ A/(x-1) + B/(x-1)^2 $ ecc ecc

spero di essere stato chiaro =)

#6
frenk8

frenk8

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Grazie a tutti e due credo di aver capito scusate il ritardo ma in questi giorni ero preso da fisica ora riprendo con mate x mercoledì prossimo :D Ora non mi resta che mettermi a fare esercizi e vedere se nella pratica riesco ad applicare quello che credo di aver capito, vi farò sapere :D




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