Allora come ti dicevo, per quanto riguarda le funzioni razionali bisogna considerare 4 passaggi, di cui il primo solo in certi casi, e cioè quando il grado del denominatore è < o = al numeratore.
Prendiamo come esempio quello che ho scritto prima:
int (X^3-3x-1)/(x^2-x-1)dx >>>>>>>>> in questo caso procediamo con i passaggi di cui ti parlavo e cioè:
1) FARE LA DIVISIONE TRA I POLINOMI! "questo puoi farlo solo se il grado del denominatore è,come ti dicevo prima
al grado del numeratore.
2) FATTORIZZAZIONE DEL DENOMINATORE;
3)DECOMPORRE LA FRAZIONE IN FRATTI SEMPLICI: esistono più modi per fattorizzare il denominatore, ma in certi
casi arrivi ad un punto dove non puoi più fattorizzare, ed è li che entra in
gioco A B C ecc....
4)INTEGRARE I FATTORI DECOMPOSTI.
risolviamo l'integrale:
siccome il grado del denominatore è minore del grado del numeratore va fatta la divisione:
x^3-3x-1: x^2-x-1 -------> la divisione ci porta i seguenti risultati: quoziente= x+1 e resto= 1
quindi riscriviamo l'integrale come: int(x+1) + 1/(x^2-x-2)dx ------> a questo punto dobbiamo fattorizzare il denominatore, poiché non possiamo fare la
divisione dobbiamo vedere se si può ancora fattorizzare è cioè:
x^2-x-2= (x-2)*(x+1) ----->> fatto questo non possiamo più fattorizzare, per cui
scriviamo come segue:
x^2-x-2= A/(x-2) + B/(x+1) ------>>> fai il mcm "in questo caso li prendi tutti e due,
dividi e moltiplichi ottenendo in fine:
A+B=0
A-2B=1 >>>>>> A= -1/3 e B= 1/3
trovati A e B li vai a sostituire ottenendo -1/3/(x-2) + 1/3/(x+1) che portando fuori i termini noti
otteniamo che l'integrale di partenza risulti:
int(x+1)dx -1/3 int(1/(x-2))dx +1/3 int(1/x+1))dx che risulta un integrale semplice da risolvere.
in definitiva per fattorizzare e per avere quelle A B Bx C D ecc devi tener conto del grado del polinomio, facciamo un esempio
se ho x^3+x, scomponendo ottengo:
x^3+x= x(X^2+1) ---> poichè (x^2+1) non è più scomponibile devo lasciarlo cosi, e quindi quando vado a fattorizzare poichè non è di primo grado devo scrivere:
X^3+x= A/x + Bx+C/(x^2+1) dove Bx+C è in questo caso non una costante ma un polinomio di primo grado, ti faccio un ulteriore esempio che potresti trovare:
X^3-2x^2+x = x(x^2-2x+1)= dove (X^2-2x+1) è un quadrato di binomio e cioè (X-1)^2, in questo caso scriviamo come segue:
X^3-2x^2+x= x(x-1)^2 = A/x + B/(x-1) + C/(x-1)^2 -----> in sintesi quando ti trovi in questi casi cioè con un quadrato di binomio o cubo di binomio ecc...
devi mettere come denominatori prima quello che c'è in parentesi (x-1) e poi il quadrato o il cubo
ecc.. in questo caso (x-1)^2, ti faccio un ulteriore esempio per farti capire meglio:
1/x(x-1)^3 = A/x + B/(x-1) + C/(x-1)^2 + D/(x-1)^3 --------> fare il mcm e continuare
con il procedimento normale per
trovare A,B,C,D.
Non so se sono stato proprio chiaro, ma spero di averti fatto capire come fattorizzare, in realtà le tipologie sono quelle che ti ho descritto, non credo che troverai qualcosa di diverso perchè in quel caso potrai ulteriormente scomporre e ricadere nel caso normale, se hai latri dubbi ho non hai capito qualche passaggio fammi sapere che cercherò di spiegartelo meglio ciao