Corsi di Laurea

[Kinn]

Salve,
ho qualche problema col capire quando un sistema LTI rispetta alcune proprietà. In particolare:

DISPERSIVITA' - "se y(t) valutata in t dipende solo da x(t) nell'istante t allora il sistema è non dispersivo"

Se considero il sistema y(t) = x(t^2)

Istintivamente mi verrebbe da dire che in generale il sistema è dispersivo poichè ad esempio per t=2 si ha:
y(2) = x(4) - quindi dipende da istanti diversi da t=2

D'altra parte però per t=0 e t=1 si ha:
y(0) = x(0)
y(1) = x(1) - per cui dipende dallo stesso istant e t e quindi non sarebbe dispersivo.

Qual è la soluzione corretta?

STABILITA' BIBO - "il sistema è stabile BIBO se l'uscita relativa a un ingresso limitato è anch'essa limitata"

Non ho capito nulla su come si possa dimostrare questa cosa. Potreste farmi qualche esempio?

[ildiabolico]

Per la Dispersività il concetto è questo: Prendiamo ad esempio un sistema che fa la Moltiplicazione.
y(t) = u(t) * x(t)
dove la funzione di trasferimento del sistema x(t) per farla facile la possiamo prendere come una costante. Se x(t) è na costante (ad esempio lo scalare "a"), avrai che per ogni valore dell'ingresso u(t) (che ad esempio varia col tempo quindi u(0)=0, u(1)=1, u(2)=2....u(n)=n) il sistema ti darà un valore diverso tra i tempi "t" e "t+1". In sostanza questo vuol dire che il sistema NON è Dispersivo (o Senza Memoria), ovvero che non ricorda all'istante corrente cosa sia potuto succedere all'istante precedente.

La Zero Order Hold (ZOH) o mantenitore(interpolatore) di ordine Zero è un sistema dispersivo (con la pala direi) in quanto mantiene costante un particolare valore dell'ingresso nel tempo (quindi il sistema per un pò ricorda all'istante corrente cosa sia successo negli istanti precedenti).


Per la Stabilità di tipo BIBO (Bounded Input Bounded Output) devi dimostrare sostanzialmente che se l'ingresso è limitato in modulo si verifica che pure l'uscita è limitata in modulo. Ad esempio se il tuo sistema fa un integrale avrai che, dato un input limitato in modulo (ovvero minore di una costante N) il suo valore numerico in uscita sarà sempre minore di una certa cosante M (Semplicisticamente parlando ).

Un sistema che moltiplica l'ingresso per una rampa (o na retta per intenderci) non sarà mai Stabile in senso BIBO perchè per ogni ingresso (limitato in modulo come una costante - ad esempio C= 3 è certamente un ingresso "Bounded" perchè C <=N con N =3,4,5.....inf - ) avrai uscite che non saranno mai limitate in modulo tendendo all'infinito ( 3*t può assumere qualunque tipo di valore - dipendente da t - e crescerà sempre tendendo all'infinito).


Spero di essere stato d'aiuto