Corsi di Laurea

[904]

Salve , ma come posso prepararmi per l'esame orale e scritto di algebra lineare? cosa possono chiedermi all'orale? visto che non ci sto capendo niente su iwt ne come applicare queste cose apprese . Dove posso trovare delle prove d'esame di algebra lineare? di cosa trattano all'esame gli esercizi?
Grazie

[peppepeppo]

cosa possono chiedermi all'orale?

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Dove posso trovare delle prove d'esame di algebra lineare?

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di cosa trattano all'esame gli esercizi?

Di solito esce:
1. studio s.l. al variare del parametro k;
2. Studio di dimensione e base di sottospazi, somma si sottospazi, intersezione di sottospazi, problemi vari sugli spazi e i sottospazi insomma.
3. Endomorfismi (dire se è diagonalizzabile o meno....)
4. Omomorfismi

[904]

ma non riesco proprio a capirle queste cose a partire dallo spazio vettoriale

[Folgore]

Salve , ma come posso prepararmi per l'esame orale e scritto di algebra lineare? cosa possono chiedermi all'orale? visto che non ci sto capendo niente su iwt ne come applicare queste cose apprese . Dove posso trovare delle prove d'esame di algebra lineare? di cosa trattano all'esame gli esercizi?
Grazie

Ciao, per prima cosa ti dico cosa sapere per l'orale. Questo che ti dico consideralo il minimo per fare una figura decente. Poi dipende tutto dalla tua maturità di comprensione degli argomenti e della tua dialettica quando esponi le cose.

Prima di tutto devi sapere bene queste DEFINIZIONI (cerca di fare anche un esempiuccio per far capire che hai capito):
- matrice: cos'è; matrice trasposta; matrice diagonale; matrice simmetrica; matrice identica; somma e differenza tra matrici; prodotto tra matrici e commutatività; prodotto tra matrici ed uno scalare; matrici inverse (condizione sufficiente per il calcolo dell'inversa), ed algoritmi per il calcolo dell'inversa.
- sistema lineare e sistema lineare omogeneo: ricerca delle soluzioni, regola di Cramer, regola di Gauss (riduzione a scalino).
- proprietà degli spazi vettoriali, concetto di base e di dimensione;
- prodotto scalare: proprietà; angolo tra vettori; vettori ortogonali; vettori ortonormali; base ortonormale.
- autovalore ed autovettore di una matrice quadrata;
- omomorfismi e proprietà; nucleo ed immagine come sottospazi;
- matrici/endomorfismi diagonalizzabili; matrici/endomorfismi ortogonali; matrici/endomorfismi ortogonalmente diagonalizzabili.
- coniche: classificazione (se lo avete fatto).
- geometria analitica (mi pare sia stata fatta quest'anno solo nel piano): equazione cartesiana, parametrica e simmetrica della retta nel piano; vettori direzionali delle rette; perpendicolarità e parallelismo per rette nel piano; punto di intersezione tra rette.

Per i teoremi:
- Teorema di Rouche Capelli (se è stato dimostrato fattelo, altrimenti va bene anche solo l'enunciato);
- Lemma di Steinitz;
- Teorema della base;
- Teorema della dimensione;
- Disuguaglianza di Cauchy Schwarz;
- perché gli autovalori sono radici del polinomio caratteristico?
- teorema di caratterizzazione delle matrici diagonalizzabili;
- un endormorfismo è diagonalizzabile se e solo se ha una base di autovettori (se è stato dimostrato fallo, altrimenti fai l'enunciato);
- teorema spettrale (non si dimostra mai ma fai l'enunciato).

Per gli esercizi comincia a fare e comprendere pian piano quelli che hai fatto in classe. Poi cimentati un po' con le prove di esame, come ti è stato suggerito nel post precedente.
Gli esercizi di Geometria verteranno sicuramente su questi argomenti:
a) quasi sicuramente sistema lineare quadrato con parametro e, magari, calcolo della matrice inversa fissando un parametro nella matrice dei coefficienti del sistema;
sottospazi vettoriali: si farà sicuramente riferimento a sottospazi ortogonali, sottospazio intersezione e sottospazio somma;
c) omomorfismo: studio del nucleo e dell'immagine;
d) endomorfismo o matrice quadrata (diagonalizzazione): calcolo di una base di autovettori, calcolo della matrice di diagonalizzazione;
e) geometria analitica (di solito facoltativo).

In bocca al lupo e buon Natale.

[Folgore]

ma non riesco proprio a capirle queste cose a partire dallo spazio vettoriale

Per la Geometria, pare strano a dirsi, si può lavorare in maniera più semplice perché tutto può essere visto sotto forma di algoritmi.
Se hai difficoltà, posto un esercizio e ti dico come si fa.

[904]

Ma non ho difficoltà a fare gli esercizi perchè applico l'algoritmo ecc e risolvo ho difficoltà a capire proprio i concetti tipo cosa è uno spazio vettoriale a livello grafico un insieme di vettori? e cosa è una base? questo non comprendo poi
Prima di tutto devi sapere bene queste DEFINIZIONI (cerca di fare anche un esempiuccio per far capire che hai capito):
- matrice: cos'è; matrice trasposta; matrice diagonale; matrice simmetrica; matrice identica; somma e differenza tra matrici; prodotto tra matrici e commutatività; prodotto tra matrici ed uno scalare; matrici inverse (condizione sufficiente per il calcolo dell'inversa), ed algoritmi per il calcolo dell'inversa.
- sistema lineare e sistema lineare omogeneo: ricerca delle soluzioni, regola di Cramer, regola di Gauss (riduzione a scalino).
Per i teoremi:
- Teorema di Rouche Capelli (se è stato dimostrato fattelo, altrimenti va bene anche solo l'enunciato);
questi argomenti li ho fatti alla perfezione visto che anche alle superiori li avevo fatti

[Folgore]

Ma non ho difficoltà a fare gli esercizi perchè applico l'algoritmo ecc e risolvo ho difficoltà a capire proprio i concetti tipo cosa è uno spazio vettoriale a livello grafico un insieme di vettori? e cosa è una base? questo non comprendo poi
Prima di tutto devi sapere bene queste DEFINIZIONI (cerca di fare anche un esempiuccio per far capire che hai capito):
- matrice: cos'è; matrice trasposta; matrice diagonale; matrice simmetrica; matrice identica; somma e differenza tra matrici; prodotto tra matrici e commutatività; prodotto tra matrici ed uno scalare; matrici inverse (condizione sufficiente per il calcolo dell'inversa), ed algoritmi per il calcolo dell'inversa.
- sistema lineare e sistema lineare omogeneo: ricerca delle soluzioni, regola di Cramer, regola di Gauss (riduzione a scalino).
Per i teoremi:
- Teorema di Rouche Capelli (se è stato dimostrato fattelo, altrimenti va bene anche solo l'enunciato);
questi argomenti li ho fatti alla perfezione visto che anche alle superiori li avevo fatti

Scusami, ma allora dovresti spiegarti meglio, perché in realtà, anche considerando le dispense che ti ha suggerito l'altro utente del forum, si era capito che tu di Geometria non capivi proprio una mazza.
Vuoi sapere che significano quelle cose? Purtroppo, in $R^{n}$, con $n>4$, devi astrarre, cioè devi prendere per buone le cose intuitive che vedi in $R_{2}$ e $R_{3}$.
Ora ti faccio qualche esempio: il piano cartesiano (x,y), cioè $R_{2}$ è uno spazio vettoriale. Una parabola ne è per esempio un suo sottoinsieme. Il sottoinsieme è un sottospazio vettoriale se contiene il vettore nullo (cioè passa per l'origine) e se valgono le proprietà per cui:
a) la somma di due vettori (che in $R_{2}$ corrispondono due punti del piano) è ancora nel sottoinsieme (si chiama "chiusura rispetto alla somma");
un vettore moltiplicato per uno scalare (cioè un punto moltiplicato per un numero) è ancora nel sottoinsieme (si chiama "chiusura rispetto al prodotto").
Facciamo degli esempi:
1) $y=x^{2}+1$ è un sottoinsieme ma non è un sottospazio vettoriale perché non contiene il vettore nullo;
2) $y=x^{2}$ è un sottoinsieme che contiene il vettore nullo, cioè l'origine. Ma non è sottospazio. Infatti, prendi i punti $(1,1)$ e $(2,4)$ che fanno parte di questa parabola. Facciamone la somma: $(1,1)+(2,4)=(3,5)$, che è un punto che non è sicuramente della parabola. Perciò $y=x^{2}$ non è un insieme chiuso rispetto alla somma e di conseguenza non può essere un sottospazio vettoriale;
3) $y=x$ è una retta che passa per l'origine. E' un sottospazio vettoriale. Infatti, contiene il vettore nullo e gode della proprietà per cui, presi due punti, il punto "somma" è ancora un punto della retta; preso un punto e moltiplicato per un numero (chiusura rispetto al prodotto), il punto risultante appartiene ancora alla retta.

Ti faccio ora capire che cos'è una base dal punto di vista intuitivo.
La base è, per definizione, un insieme massimale di vettori linermente indipendenti ed un insieme minimale di generatori.
La prima proprietà ci dice che:
in $R_{2}$, al massimo due punti possono essere linearmente indipendenti, cioè i punti che rappresentano i vettori non sono proporzionali tra loro. Praticamente, i due vettori formano un angolo diverso da zero tra loro e di conseguenza coprono uno spazio che si estende a tutto $R_{2}$. In questo senso i vettori linearmente indipendenti hanno "generato" $R_{2}$.
La seconda proprietà ci dice che:
in $R_{2}$, se prendo tre punti sicuramente uno dipende dagli altri due, cioè è scrivibile come somma o differenza, pesata con opportuni coefficienti (e questo è il senso della combinazione lineare di vettori), degli altri due. Questo significa che ho due punti "linearmente indipendenti" ed uno dipendente dagli altri due. In tal senso, poiché sicuramente due vettori generano $R_{2}$, anche l'altro punto, che dipende dai primi due, genera $R_{3}$. Ecco il senso della parola "minimale".

Ho scritto un po' di corsa ma spero ti sia più chiaro.
Ciao.

[904]

grazie mi è un poco più chiaro anche se tutt'ora mi sembrano cose astratte come dovrei fare per impararla questa geometria? studiare e applicare le cose che ho imparato ma come?

[Folgore]

grazie mi è un poco più chiaro anche se tutt'ora mi sembrano cose astratte come dovrei fare per impararla questa geometria? studiare e applicare le cose che ho imparato ma come?

Guarda, so che è difficile ma per l'esame di Matematica I devi imparare in maniera molto astratta. Il perché studi queste cose lo capirai tra un po' di tempo. Ci saranno esami dove troverai applicazioni pratiche di ciò che stai studiando. Mi rendo conto che per ora è un po' difficile ricordarle ed assimilarle.