Corsi di Laurea

[DolceNera]

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[Folgore]

Quesito 6

Per risolvere questo quesito, occorre sapere la definizione di distribuzione
di una variabile aleatoria e le propriet\`{a} dell'integrale indefinito.

Sia $X$ una variabile aleatoria continua, la cui densità di probabilità è $f( x) $. La funzione di distribuzione $F(x) $ è esprimibile come:

$F( x) =P( X\leq x) =\int_{-\infty }^{x}f(u) du4.

Allora,
$P( a\leq X< =\int_{a}^{b}f( u)du=\int_{a}^{-\infty }f( u) du+\int_{-\infty}^{b}f( u) du=-\int_{-\infty }^{a}f( u) du+\int_{-\infty}^{b}f( u) du=F( -F( a) $.

Il fatto che in corrispondenza di $b$ non ci sia l'uguale non significa
nulla, proprio per le proprietà dell'integrale indefinito.

[Folgore]

Affinché $f( x) $ sia una densità di probabilità,
deve essere:%

$\int_{-\infty }^{+\infty }f( x) dx=1$.

Si ha che:

$\int_{-\infty }^{+\infty }f( x) dx=\int_{-\infty}^{0}ae^{x}dx+\int_{0}^{+\infty }ae^{-x}dx=a[ e^{x}] _{-\infty}^{0}-a[ e^{-x}] _{0}^{+\infty }=a+a=2a$,
e questa quantità è uguale ad 1 solo se:
$2a=1$,
cioè $a=\frac{1}{2}$.

[Folgore]

Quesito 8

La distribuzione a cui si fa riferimento è quella esponenziale, per la
quale:

$E[ X] =\frac{1}{\lambda }$.

Quindi, dato che deve essere:

$E[ X] =3$,

si presume che $\lambda =\frac{1}{3}$.

La mediana è un valore $a$ per il quale, per le variabili aleatorie
continue, si ha:

$\int_{-\infty }^{a}f( x) dx=\int_{a}^{+\infty }f( x)dx$,

per cui deve essere, nel caso della variabile aleatoria esponenziale
(definita solo per $x\geq 0$):

$\int_{0}^{a}f( x) dx=\int_{a}^{+\infty }f( x) dx$,

cioè:

$\frac{1}{3}\int_{0}^{a}e^{-\frac{x}{3}}dx=\frac{1}{3}\int_{a}^{+\infty }e^{-\frac{x}{3}}dx$

da cui si ottiene l'equazione:

$3-3e^{-\frac{a}{3}}=3e^{-\frac{a}{3}}$,

cioè:

$e^{-\frac{a}{3}}=\frac{1}{2}$.

RIsolvendo questa equazione esponenziale, si trova $a=-3\log \frac{1}{2}=3\log 2.$

[Folgore]

Quesito 9

Si noti che:

$f x) =\frac{1}{2\sqrt{\pi }}e^{-[ ( \frac{x}{2})^{2}-( x-1) ] }=\frac{1}{\sqrt{4\pi }}e^{-\frac{(x-2) ^{2}}{4}}$,

che è una distribuzione gaussiana avente media $\mu =2$ e varianza $\sigma ^{2}=2$. Il valor quadratico medio è:

$E[ X^{2}] =\mu ^{2}+\sigma ^{2}=4+2=6$.

[Folgore]

Quesito 10

La media della variabile aleatoria $X$ è:

$E[ X] =-P( X=-1) +0P( X=0) +P(X=1) =P( X=1) -P( X=-1) =p_{2}-p_{1}$.

Dato $X$ e $Y$ sono indipendenti, si ha che:

$E[ Z] =E[ XY] =E[ X] E[ Y]=( p_{2}-p_{1}) \mu$.

[DolceNera]

Quesito 10

La media della variabile aleatoria $X$ è:

$E[ X] =-P( X=-1) +0P( X=0) +P(X=1) =P( X=1) -P( X=-1) =p_{2}-p_{1}$.

Dato $X$ e $Y$ sono indipendenti, si ha che:

$E[ Z] =E[ XY] =E[ X] E[ Y]=( p_{2}-p_{1}) \mu$.

E di questi 2 esercizi potresti postarmi lo svolgimento?
E' l'ultimissimo favore che ti chiedo!
viewtopic.php?f=10&t=14780

[Folgore]

Appena ho un po' di tempo te li scrivo.
Ciao.