Perché ti sei fermato? In questo caso, non è difficilissimo.
La statistica sufficiente è una funzione dei soli dati, e l'unica quantità che è una funzione dei soli dati nel tuo caso è la sommatoria che vedi all'esponenziale.....Ti riporto i passaggi per farti vedere come si fa.
$\beta ^{n}( 1-\beta ) ^{\sum_{i=1}^{n} ( x_{i}-1)}=\beta ^{n}( 1-\beta )^{\sum_{i=1}^{n}x_{i}-\sum_{i=1}^{n}1}=\beta ^{n}( 1-\beta )^{\sum_{i=1}^{n}x_{i}-n}=$
$=\beta ^{n}( 1-\beta ) ^{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}( 1-\beta) ^{-n}=( \frac{\beta }{1-\beta }) ^{n}( 1-\beta) ^{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}$.
Puoi quindi scrivere che:
$g( \beta ,T( x) ) =( \frac{\beta }{1-\beta }) ^{n}( 1-\beta ) ^{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}$,
$h(x) =1$,
per cui la tua statistica sufficiente (ovvero la funzione dei soli dati all'interno di $g$), è:
$T( x) =\sum_{i=1}^{n}x_{i}$.
Mi auguro di non aver fatto pasticci, è da un po' che non vedo ste cose.....Comunque, dal calcolo di $T(x)$ si cerca sempre di ricavare uno stimatore per il parametro incognito. Come potrai notare, la statistica sufficiente (a meno di una divisione per $n$) è la media campionaria! Per molti casi nella teoria della stima, la media campionaria è uno stimatore non distorto ma è anche quello a minima varianza!!!
Nel tuo caso, quasi sicuramente la media campionaria è lo stimatore non distorto a minima varianza, tuttavia occorre sempre verificarlo!
Spero di esserti stato di aiuto.
Ciao, e buono studio.
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