[TRACCIA+SOLUZIONE] FAST 2 - 23/02/2010

auguri

La risposta al quesito 3 la possiamo anche lasciar stare, tanto c'è scritto tutto sul libro... passiamo quindi al quesito 4 direttamente.

I due segnali che ci sono stati dati sono dei segnali ad M dimensioni, le componenti k-esime, con k = 1,...,M, sono uguali e coincidenti ai due segnali per k pari, e sono uguali e opposte in segno per k dispari.
L'energia dei due segnali è (uso la E per indicare le energie per comodità):
$E_1 = sum_{k=1}^{M} a_k^2 = sum_{k=1}^{M/2} a_(2k)^2 + sum_{k=1}^{M/2} a_(2k-1)^2 = Ep + Ed$
$E_2 = sum_{k=1}^{M} (-1)^k a_k^2 = sum_{k=1}^{M/2} a_(2k)^2 + sum_{k=1}^{M/2} (-a_(2k-1))^2 = Ep + Ed$

La struttura del ricevitore ottimo sta anche sul libro, per cui la ometto. Dato che è stato richiesto esplicitamente (e non è un caso) che il decisore opera secondo un criterio di minima distanza, calcoliamo il valore della soglia.
Sappiamo che
$-2 vec r * vec (s_1) + ||vec (s_1)||^2 >^(s2)/<_(s1) -2 vec r * vec (s_2) + ||vec (s_2)||^2 $

dove, se la quantità al primo membro è maggiore della quantità al secondo membro, sarà deciso s2, altrimenti s1. Facendo qualche trasformazione abbiamo:
$2 vec r * vec (s_1) - ||vec (s_1)||^2 >^(s1)/<_(s2) 2 vec r * vec (s_2) - ||vec (s_2)||^2$
dato che i due segnali sono equienergetici possiamo eliminare i due moduli dalla disequazione (e anche i fattori moltiplicativi per 2):
$vec r * vec (s_1) >^(s1)/<_(s2) vec r * vec (s_2)$
separando i prodotti scalari nelle loro componenti otteniamo:
$sum_{k=1}^{M} r_k a_k >^(s1)/<_(s2) sum_{k=1}^{M} (-1)^k r_k a_k$
$sum_{k=1}^{M/2} r_(2k) a_(2k) + sum_{k=1}^{M/2} r_(2k-1) a_(2k-1) >^(s1)/<_(s2) sum_{k=1}^{M/2} r_(2k) a_(2k) - sum_{k=1}^{M/2} r_(2k-1) a_(2k-1)$
per cui ci rimane:
$sum_{k=1}^{M/2} r_(2k-1) a_(2k-1) >^(s1)/<_(s2) 0$
la decisione quindi viene influenzata solo dalle componenti dispari della proiezione del segnale ricevuto sulle basi (tralatro questa cosa si può anche capire intuitivamente, dato che le componenti pari sono uguali per i due segnali in realtà queste componenti non ci danno alcuna informazione utile ai fini della decisione)

Dato che i segnali sono equiprobabili e si adotta un criterio a minima distanza, va da sè che la probabilità d'errore è la stessa nel caso in cui siano trasmessi entrambi i segnali. Tale probabilità d'errore dipende soltanto dalla distanza tra i due segnali (e ovviamente anche da $N_0$).
La distanza euclidea tra s1 ed s2 vale:
$D(vec s_1 , vec s_2) = sum_{k=1}^{M} ((s1)_k - (s2)_k)^2 = sum_{k=1}^{M} (s1)_k^2 - 2 sum_{k=1}^{M} (s1)_k (s2)_k + sum_{k=1}^{M} (s2)_k^2 = 2 sum_{k=1}^{M} a_k^2 - 2 sum_{k=1}^{M/2} (-1)^(2k) a_(2k)^2 -2 sum_{k=1}^{M/2} (-1)^(2k-1) a_(2k-1)^2 = $
$2 E_p + 2 E_d -2 E_p + 2E_d = 4E_d$

La probabilità d'errore è pari a $Q(sqrt( (D (vec s_1 , vec s_2) ) /(2N_0))) = Q(sqrt((2E_d)/N_0))$

Come già detto, le componenti $a_k$ con k pari non influiscono affatto sulla probabilità d'errore, pertanto possiamo tranquillamente azzerarli mantenendo inalterata la probabilità d'errore, quindi ponendo $E_p = 0$, per cui il rapporto $E_p / E_d = 0$

blackjack ma nn si poteva sostitutire M=2 semplificando quindi tutto???

cosa?

cioè, stai dicendo che invece di perdermi con tutte ste sommatorie avrei potuto prendere il caso M=2 e ragionare solo su quello? forse si, non ci ho proprio pensato. però penso che i prof non avrebbero gradito uno svolgimento con M=2 perchè non c'è scritto da nessuna parte sulla traccia che M=2: lo scopo di questa traccia è sostanzialmente quello di mettere alla prova le tue capacità di ragionare in maniera multidimensionale... credo...

ma il fatto che dice che è una modulazione binaria nn centra nnt???? secondo me si

mmm secondo me non c'entra niente... e adesso ho capito cosa volevi intendere prima... dato che la segnalazione è binaria hai pensato che M fosse pari a 2, ma in questa traccia per M non intendeva il numero di segnali ma il numero di dimensioni...

scusate l'intromissione xD ... dai miei rimasugli di fast II (che manco ho dato xD) la dimensionalità di una segnalazione è al massimo pari alla cardinalità della segnalazione .... mò non ti vorrei dire caxxate ma a me sembra sia cosi ..

scusate l'intromissione xD ... dai miei rimasugli di fast II (che manco ho dato xD) la dimensionalità di una segnalazione è al massimo pari alla cardinalità della segnalazione .... mò non ti vorrei dire caxxate ma a me sembra sia cosi ..

ecco...intendevo qst

mmmm allora... quello che dici tu è sicuramente vero nel momento in cui hai N segnali e da questi ne vuoi ricavare un certo numero M di basi e la costellazione. quando usi gram-schmidt è logico che nel caso peggiore tutti i segnali sono ortogonali tra loro e M = N, ma in generale il numero di basi è minore o uguale del numero di segnali della costellazione.

questo è, secondo me, un caso diverso. le basi ti sono già state date, non c'è da usare gram-schmidt,e in linea di principio posso avere anche soltanto 2 segnali con ennemila basi. per esempio, prova a definire 4 basi del tipo
$psi_1(t) = 2/sqrt(T) sin((2pit)/T), 0<=t<=T/2$
$psi_2(t) = 2/sqrt(T) sin((2pit)/T), T/2<=t<=T$
$psi_3(t) = 2/sqrt(T) cos((2pit)/T), 0<=t<=T/2$
$psi_4(t) = 2/sqrt(T) cos((2pit)/T), T/2<=t<=T$

E definisci due segnali del tipo
$s_1(t) = psi_1(t) + psi_2(t) + psi_3(t) + psi_4(t)$
$s_2(t) = -psi_1(t) + psi_2(t) - psi_3(t) + psi_4(t)$
Puoi calcolarti le proiezioni di entrambi i segnali su tutte e 4 le basi! Le 4 basi inoltre sono tra loro incorrelate.

Se usassi gram-schmidt mi troverei due basi per questi due segnali, ma niente mi impedisce di averne 4. Oppure M.

Comunque per conferma o smentita bisognerebbe vedere cosa ne pensano i più "grandi", sperando che si facciano vivi prima di lunedì

qlkn si faccia vivo!!!!!!

scusate l'intromissione xD ... dai miei rimasugli di fast II (che manco ho dato xD) la dimensionalità di una segnalazione è al massimo pari alla cardinalità della segnalazione .... mò non ti vorrei dire caxxate ma a me sembra sia cosi ..

Questo è vero partendo però dal pressuposto che la segnalazione sia ottima, ossia gli apparati della comunicazione (i correlatori o i filtri adattati) siano ottimizzati.
Matematicamente parlando non c'è nessun legame tra la base che si sceglie su cui proiettare is egnali e i segnali stessi. Io posso tranquillamente proiettare 2 segnali di 2PAM su una base di 128 versori, non farei nessuno errore di concetto, solo che poi ovviamente verrebbe una chiaveca

Posto la mia riguardo al calcolo della probabilitù di errore attraverso il metodo della "rivelazione di minima distanza":


$D ( r, S1) = sum_( k=1)^( M) ((r_k-a_k)^2)$
$D ( r, S2) = sum_( k=1)^( M) ((r_k-(-1)^k cdot a_k)^2)$

poichè con questo metodo viene selezionato il segnale avennte la minore metrica di distanza si ha errore se

$ P(e|S1) = P [ D ( r, S1) > D ( r, S2)] = [sum_( k=1)^( M) ((r_k-a_k)^2) > sum_( k=1)^( M) ((r_k-(-1)^k cdot a_k)^2)]$ =
$= P [ sum_( k=1)^( M) (r_k^2-2r_k cdot a_k+a_k^2) > sum_( k=1)^( M) (r_k^2+a_k^2-(-1)^k cdot 2 a_k cdot r_k) ]=$
$=P [ 2 cdot sum_( k=1)^( M/2) (2 cdot (r_2k-1) cdot (a_2k-1)) <0] = [ sum_( k=1)^( M/2) ((r_2k-1( cdot (a_2k-1))<0]=$
$=P[ ( sum_( k=1)^( M/2) ((r_2k-1( cdot (a_2k-1)) -(sqrt(epsi_d)))/(sqrt(N0/2))) < - sqrt((2epsi_d)/N0)]=$
$=1- Q(-sqrt((2epsi_d)/N0))= Q(sqrt((2epsi_d)/N0))$ ;

analogamente

$ P(e|S1) = P [ D ( r, S1) < D ( r, S2)] = [sum_( k=1)^( M) ((r_k-a_k)^2) < sum_( k=1)^( M) ((r_k-(-1)^k cdot a_k)^2)] =$
$=P [ sum_( k=1)^( M) (r_k^2-2r_k cdot a_k+a_k^2) < sum_( k=1)^( M) (r_k^2+a_k^2-(-1)^k cdot 2 a_k cdot r_k) ]=$
$=P [ 2 cdot sum_( k=1)^( M/2) (2 cdot (r_2k-1) cdot (a_2k-1)) >0] = [ sum_( k=1)^( M/2) ((r_2k-1( cdot (a_2k-1))>0]=$
$= P[ ( sum_( k=1)^( M/2) ((r_2k-1( cdot (a_2k-1)) -(sqrt(epsi_d)))/(sqrt(N0/2))) > - sqrt((2epsi_d)/N0)]=$
$= Q( - sqrt((2epsi_d)/N0))=1-Q(sqrt((2epsi_d)/N0))$

e qui mi trovo una roba strana.
alla fine viene:

quindi $P(e)= (1/2) cdot [P(e|S1)+P(e|S2)] = (1/2) cdot [Q(sqrt((2epsi_d)/N0))+1-Q(sqrt((2epsi_d)/N0))]= (1/2) cdot 1=$
$= 1/2$

Possibile?

Ragazzi nella soluzione del secondo esercizio, quando calcola la probabilità di errore, usa questa formula:

$Q(sqrt((d(bar s_1,bar s_2))/(2N_0)))$

Non dovrebbe essere al quadrato la distanza?
Cioè la formula non è questa?

$Q(sqrt((d^2(bar s_1,bar s_2))/(2N_0)))$

la stavo facendo proprio adesso e mi sono chiesto la stessa cosa