[TRACCIA+SOLUZIONE] Fast 2 16/10/2009

Mi scuso se è un pò venuta male ma lo scanner inizia ad abbandonarmi.

Per quanto riguarda l'orale, la seduta è fissata nel pomeriggio di martedì 20, giusto? Non ricordo o meno se siano state fatte comunicazioni in merito durante la prova scritta.

si è martedì alle 14.30, aula 145 , se ricordo bene!

si confermo martedì 20 ore 14:30 aula 145

Salve ragazzi....nessuno puo' postare la soluzione dei quesiti 3 e 4?io li ho risolti a modo mio e vorrei confrontarmi con qualcuno....grazie in anticipo.....

per quanto riguarda il #3 non dovevi fare altro che scrivere la dimostrazione del paragrafo 3.3.2 del Proakis (Angle Modulation by a Sinusoidal Signal); per il quarto nella probabilità di errore ti dovrebbero uscire due Q...

sisi come dimostrazioni ci sono....quello che nn son o riuscito a fare è il disegno della trasformata....in quanto già il disegno della sola funzione di Bessel e' un po' complicato...x il quesito n°.4 nn mi trovo....mica hai una bozza di svolgimento?grazie....

beh io non feci nessun disegno della trasformata, mi limitai a fare giusto qualche commento generale; per quanto riguarda il digitale purtroppo i fogli in brutta non li ho più (anche perchè arrivato ad un certo punto ho scritto direttamente in bella)...

Per il quesito 3 la soluzione la possiamo tralasciare in quanto basta scrivere pari pari tutti i procedimenti che stanno sul libro. Esaminiamo il quesito 4.

A

Come sappiamo, dato che i segnali sono 2, la probabilità di errore per bit e per simbolo sono uguali; inoltre i segnali sono equiprobabili, per cui:
$Pb(gamma_b,alpha) = 1/2( p(e|s_1) + p(e|s2) )$

$P(e|s1) = 1/sqrt(piN_0) int_{-oo}^{alpha sqrt(Eb)} e^(-(r-sqrt(Eb))^2/(N_0))dr = 1/sqrt(2pi) int_{-oo}^{(alpha-1)sqrt(2gamma_} e^(-(x^2)/2)dx = $
$= 1/sqrt(2pi) int_{(1-alpha)sqrt(2gamma_}^{oo} e^(-(x^2)/2)dx$
Dove nell'ultimo passaggio ho invertito segni degli estremi e verso d'integrazione, lasciando invariato il risultato. Tutti i passaggi relativi al cambio di variabile da r ad x li ho tralasciati in quanto piuttosto banali. Alla fine ci esce:
$P(e|s1) = Q((1-alpha)sqrt(2gamma_)$

Allo stesso modo ricaviamo:
$P(e|s2) = 1/sqrt(piN_0) int_{alpha sqrt(Eb)}^{oo} e^(-(r+sqrt(Eb))^2/(N_0))dr = 1/sqrt(2pi) int_{(alpha+1)sqrt(2gamma_}^{oo} e^(-(x^2)/2)dx = Q((1+alpha)sqrt(2gamma_)$
quindi
$Pb(gamma_b,alpha) = 1/2 Q((1-alpha)sqrt(2gamma_) + 1/2 Q((1+alpha)sqrt(2gamma_)$

B

La funzione Q è una funzione positiva e decrescente, pertanto al crescere di $gamma_b$, ossia dell'energia dei due segnali, quindi la loro distanze, entrambe le Q che concorrono alla Pb decrescono.
$lim_{gamma_b rightarrow oo} Pb(gamma_b,alpha) = 1/2 * 0 + 1/2 * 0$
$lim_{gamma_b rightarrow 0} Pb(gamma_b,alpha) = 1/2 Q(0) + 1/2 Q(0) = 1/4 + 1/4 = 1/2$

C

La funzione Q ha un andamento decrescente e parabolico. Al crescere di $alpha$, si nota che $Q((1-alpha)sqrt(2gamma_)$ cresce mentre $Q((1+alpha)sqrt(2gamma_)$ decresce.
Questi due valori quindi si spostano lungo il grafico della funzione Q (il grafico si dovrebbe trovare sul libro), quello crescente verso sinistra e quello decrescente verso destra. Quello crescente cresce più velocemente di quanto decresce il decrescente (scusate lo scioglilingua). Perciò si può affermare che al crescere di $alpha$ la probabilità d'errore aumenta (questo è anche giustificabile intuitivamente andando a guardare la costellazione e la soglia)

$lim_{alpha rightarrow oo} Pb(gamma_b,alpha) = 1/2 Q(oo) + 1/2 Q(-oo) = 1/2 Q(oo) + 1/2 - 1/2 Q(oo) = 1/2$
Il penultimo passaggio proviene dalle proprietà della funzione Q.
$lim_{alpha rightarrow 0} Pb(gamma_b,alpha) = 1/2 Q(sqrt(2gamma_) + 1/2 Q(sqrt(2gamma_) = Q(sqrt(2gamma_)$
che è proprio la probabilità d'errore del PAM binario antipodale quando la soglia è 0 (cioè quando si adotta un ricevitore ottimo).

Per il quesito 3 la soluzione la possiamo tralasciare in quanto basta scrivere pari pari tutti i procedimenti che stanno sul libro.

In realtà nella traccia, se ho ben capito, chiede di calcolare la trasformata del segnale modulato, cosa che sul libro non è presente...

Comunque la mia soluzione sarebbe la seguente:

$ U(f)=A/2sumJ_n(beta)[delta(f-f_c-nf_m)+delta(f+f_c+nf_m)] $