Svolgimento prova d'esame FAST1 14-02-2008

Qualcuno di buona volontà potrebbe postare lo svolgimento della prova d'esame di gennaio o almeno qulacosa di simile??
il 14 si avvicina e non ci capisco nulla
solo voi mi potete salvare

riporto in alto il 3d...nessuno proprio può aiutarci?

Riporto lo svolgimento del secondo esercizio della traccia del 14 Febbraio 2008

$ X_1(f) = 1 $ con $ f<|(1/2)| $ è una finestra rettangolare
$ X_2(f) = (1-|t|) $ con $ f<|1| $ è una finestra triangolare

la finestra rettangolare ha una banda più piccola, e quindi è impossibile ottenere, con un sistema LTI, componenti ad altre frequenze (non si creano frequenze!) .
la finestra triangolare ha una banda maggiore, e quindi si può ottenere, a partire da questa, $ X_1(f) $

il sistema che ci consente di passare da $ X_2(f) $ a $ X_1(f) $ deve avere una risposta in frequenza $ H(f) $ tale che

$ X_2(f) * H(f) = X_1(f) $
$ (1-|f|) * H(f) = 1 $
quindi
$ H(f) = 1/(1-|f|) $

 fast1_14-2-08-soluzione2esercizio.PNG   6,23K   2431 Download

c'è da dire inoltre che (così diamo la risposta alla domanda c) la risposta in frequenza di $ H (f) $ calcolato non è unicamente definita poichè tale sistema può avere qualsiasi risposta in frequenza per $ T/2 <= |f| <= T $ per funzionare cmq correttamente

una domanda riguardante il primo esercizio: siccome il sistema totale $y(n) = u(n)*[x(n)**h(n)]$ ha questa moltiplicazione col gradino unitario (risultando quindi banalmente $y(n)=0 AA n<0$ si può dire a posteriori che sia cmq causale nonostante in $h(n)$ ci sia un gradino traslato verso sinistra e quindi dipendente da istanti futuri?

In merito al secondo quesito concordo ma al punto b di prima mano avevo pensato che una possibile funz. di trasferimento che mi facesse la trasformazione fosse $ H(f) = Pi(t) * (1+|f|) $
In questo modo con la rect tagliavo il triangolo e con quella f ristabilivo l'ampiezza ad 1, può essere considerato corretto oppure nun ciazzec pop?

Per il primo punto ho le tue stesse perplessita enzo perchè caratterizzando rispetto al legame y-x mi viene causale invece rispetto alla risp impulsiva no. In base a cosa bisogna caratterizzare? io avevo pensato risp. al legame y-x anche perchè mi viene difficile verificare la Lin e TI sulla risposta impulsiva

In merito al secondo quesito concordo ma al punto b di prima mano avevo pensato che una possibile funz. di trasferimento che mi facesse la trasformazione fosse $ H(f) = Pi(t) * (1+|f|) $
In questo modo con la rect tagliavo il triangolo e con quella f ristabilivo l'ampiezza ad 1, può essere considerato corretto oppure nun ciazzec pop?

Si tu quello fai nell'ipotetico sistema LTI, però non puoi definirlo così perchè devi dividere (cioè far convergere) e non moltiplicare per quella specie di parabola in frequenza... ($1-|f|$)
il sistema LTI cmq è definito nelle frequenze -1/2 e 1/2

Per il primo esercizio cmq la traccia ti chiede di caratterizzare il sistema intero, cioè da x a y , quindi tutto il sistema $y(n) = u(n) * (x(n) ** h(n))$, e sembra che quel gradino a valle del sistema con r.i. h(n) il sistema totale diventi causale, ma nn ne sono sicuro

Io l'ho fatta proprio ora questa prova e fidandomi dell'istinto ho pensato subito fosse non causale, perchè se è vero come è vero che c'è quel gradino che renderebbe il sistema causale, è anche vero che c'è un gradino traslato di $+10$ che lascia presupporre che l'uscita dipenda anche da istanti futuri rispetto ad $n$.

Dunque nonostante l'ambiguità io ho pensato sia NON causale.

Io l'ho fatta proprio ora questa prova e fidandomi dell'istinto ho pensato subito fosse non causale, perchè se è vero come è vero che c'è quel gradino che renderebbe il sistema causale, è anche vero che c'è un gradino traslato di $+10$ che lascia presupporre che l'uscita dipenda anche da istanti futuri rispetto ad $n$.

Dunque nonostante l'ambiguità io ho pensato sia NON causale.

Si però lui ti chiede di caratterizzare rispetto all'ingresso-uscita non rispetto alla risposta impulsiva, anche perchè ti chiede anche la tempo invarianza e la linearità, così facendo il prodotto tra i due gradini ti annulla quei valori negativi e diventa casuale.
Nessun'altro ha opinioni a riguardo ?

secondo me ha ragione chaos, xkè qualunque sia il risultato della convoluzione tra x(n) e h(n),per ottenere y(n) bisogna moltiplicare il tutto per il gradino unitario, che annulla i valori per n<0, dunque il sistema non è causale.

secondo me ha ragione chaos, xkè qualunque sia il risultato della convoluzione tra x(n) e h(n),per ottenere y(n) bisogna moltiplicare il tutto per il gradino unitario, che annulla i valori per n<0, dunque il sistema non è causale.

Vorresti dire causale allora ?

scusami peppe, ho fatto un ragionamento sbagliato: il sistema è causale xkè y(n) dipende da x(n) all'istante n stesso e da u(n+10), cioè da dieci istanti precedenti ad n.Quando poi si moltiplica per il gradino tutti i valori precedenti ad n vengono eliminati, negli istanti successivi ad n non ci sono valori, quindi y(n) dipende dall'ingresso al solo istante n (dunque è anche non dispersivo).
Non so cosa ho impapocchiato, correggetemi se sbaglio

Ok mi avete praticamente convinto, anche perchè l'unico inghippo poteva essere sulla traslazione $+10$, ma quella è una traslazione all'indietro non in avanti!

Se ci sono altre versioni vi farò sapere

Prince mo ti dico come ho ragionato io.
Allora normalmente avrei analizzato la risposta impulsiva oppure la relazione ingresso-uscita , qui c'è una combinazione e quindi i punti di vista sono diversi. Io Essendo che veniva esplicitamente chiesto di caratt. rispetto all i-u ho scritto la v(n) come convoluzione tra x(n) e h(n), dopo per y(n) si moltiplicava quella convoluzione per u(n), dunque sfruttando l'associatività mista mi viene $ y(n) = x(n) $ convoluzione $ h(n)u(n)
Quindi rispetto all'uscita y la risposta impulsiva di partenza risulta modificata e il prodotto dei due gradini ti dà il gradino u(n) che annulla h per n<0 e quindi viene causale.
Per la dispersività io penso sia dispersivo poichè la risposta impulsiva non è della forma $ h(n) = a delta(n)

è lecito quel passaggio dell'associatività mista? Non ricordo mò sti finezze

dunque sfruttando l'associatività mista mi viene $ y(n) = x(n) $ convoluzione $ h(n)u(n)

Tu avresti $y(n) = u(n) ( x(n) $convoluzione$ h(n) )$

L'associatività mista non la puoi sfruttare in quanto u(n) non è costante...

Però puoi moltiplicare entrambi i membri della convoluzione per il gradino che porta allo stesso risultato . $ x(n)u(n) conv. h(n)u(n)

E secondo quale criterio matematico si potrebbe moltiplicare entrambi i membri della convoluzione per la funzione gradino? Non mi risulta che la convoluzione sia distributiva rispetto al prodotto

Ci sto lavorando... Provo a dimostrare se è possibile o meno

No, non è possibile